二次曲面的一般理论.docx

解析几何教案第六章二次曲面的一般理论 解析几何教案 第六章 二次曲面的一般理论 PAGE PAGE 1 第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 , 化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 a x 2 ? a y 2 ? a z 2 ? 2a xy ? 2a xz ? 2a yz ? 2a x ? 2a y ? 2a z ? a ? 0 （1） 11 22 33 12 13 23 14 24 34 44 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组(x, y, z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号 F (x, y, z) ? a x 2 ? a y 2 ? a z 2 ? 2 a xy ? 2 a xz ? 2 a yz ? 2 a x ? 2 a y ? 2 a z ? a 11 22 33 12 13 23 14 24 34 44 F (x, y, z) ? a x ? a y ? a z ? a 1 11 F (x, y, z) ? a 2 12 F (x, y, z) ? a 3 13 F (x, y, z) ? a 12 x ? a 23 x ? a 23 x ? a 13 y ? a 23 y ? a 33 y ? a 14 z ? a 24 z ? a 34 z ? a 4 14 24 34 44 ?(x, y, z) ? a x 2 ? a y 2 ? a z 2 ? 2a xy ? 2a xz ? 2a yz 11 22 33 12 13 23 ? (x, y, z) ? a 1 11 ? (x, y, z) ? a x ? a 12 x ? a y ? a z 13 y ? a z 2 12 22 23 ? (x, y, z) ? a 3 13 x ? a 23 y ? a z 33 ? (x, y, z) ? a 4 14 x ? a 24 y ? a z 34 即有恒等式成立: F (x, y, z) ? xF 1 (x, y, z) ? yF 2 (x, y, z) ? zF 3 (x, y, z) ? F 4 (x, y, z) ?(x, y, z) ? x? (x, y, z) ? y? (x, y, z) ? z? (x, y, z) 1 2 3 ? a a a a ? ? 11 12 13 14 ? ? a a a a ? 二次曲面 F (x, y, z) 的系数矩阵: A ? ? 12 22 23 24 ? ?a a a a ? 23 33 34 ? ? 13 ? ??a a a a ? ? 14 24 34 44 ? a a a ? ? 11 12 13 ? 而由?(x, y, z) 的系数矩阵为 A? ? ? a a a ? ? 12 22 23 ? ??a a a ? ? 13 23 33 二次曲面（1）的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F (x, y, z) ， 1 F (x, y, z)， F 2 3 (x, y, z) ， F 4 (x, y, z) 的系数。  a a a I ? a ? a ? a 1 11 22 33 a I ? 11 2 a a a ?12 11 ? a a a a ?13 22 ? a a a 11 12 13 23 I ? a a a a 3 12 22 23 a a 11 12 12 a a 13 14 22 13 33 23 33 a a a 13 23 33 a I ? 12 4 a 13 a 14 a a 22 23 a a 23 33 a a 24 34 a 24 K a 1 34 a 44 a ? 11 a 14 a a ?14 22 ? a a 44 24 a24 ? a33 a a 44 34 a34 , a 44 a a 11 12 K ? a a 2 12 22 a a 14 24 a a a 14 11 13 a ? a a 24 13 33 a a a 44 14 34 a a 14 22 a ? a 34 23 a a 44 24 a a 23 24 a a 33 3