【计算机】南理工《离散数学》A卷(附答案)(3).docx

南京理工大学课程考试试卷（学生考试用） 课程名称：离散数学A 学分：4.5 大纲编号 试卷编号： 考试方式：闭卷 满分分值：100 考试时间：120 分钟 组卷日期：20XX 年 1 月 3 日 组卷教师（签字）朱保平 审定人（签字） 金忠 学生班级：计算机学院 10 级 1．（6 分）试把下列语句翻译为谓词演算公式 所有蜜蜂均喜欢所有的花粉； 有些人对某些药物过敏； 2（6 分）已知公理：（A） (P ? Q) ? P （B） (P ? Q) ? Q （C） (P ? (Q ? (P ? Q)) 及分离规则和代入规则。 试用假设推理证明下面公式为定理 (P ? R) ? (((Q ? S ) ? (P ? Q)) ? (S ? R)) （6 分）试把函数h(x , x 1 2 , x , x 4 5 ) ? f (a，g (x 1 5 ,4), x2, g 2 (x , x 1 4 ))（其中a 为自然数） 化为(m, n) 标准迭置。 （6 分）已知知识的表示如下： （1） ?x(P(x) ? ( A(x) ? B(x))) （2） ?x( A(x) ? Q(x)) （3) ??x(P(x) ? Q(x)) 结论： ?x(P(x) ? B(x)) 试用归结原理推理证明之。 5．（8 分）已知： A ? {{a}, b}， B ? {{?},{1,2}} 。试求 2 A Ax2B 6．（8 分）已知 R 为 A 上的自反 2 的，对称的二元关系，试证明： （1）对于?i ? N ，R’具有对称性； （2）t(R)为 A 上的等价关系。 7．（6 分）G=(V,E)是一个简单无向图， n ?| V |, m ?| E | 。证明m1/2(n-1)(n-2),则 G 是连通图。 （6 分）已知 A,B,C,D 为四个集合，f 为 A 到 C 的满射，g 为 B 到 D 的满射，且 A ? B ? C ? D ? ? ,构造映射 h： A ? B ? C ? D ，且对于?x ? A ? B ， f (x)当x? A h（x）= g(x)当x ? B ，试证明 h 为 A ? B 到C ? D 的满射。 （6 分）A 为任意一个集合，试证明|A| ? 2|A。| （8 分）根据要求作图： 画出一个非哈密尔顿图但有哈密尔顿通路的欧拉图，它有奇数个顶点，偶数条边； 画出一个不是欧拉图的哈密尔顿图，它有偶数个顶点，奇数条边。 11．（8 分）G=（V,E）是一个简单平面图，|E|30，试证明至少有一个顶点的度数小于或等于 4。 12.（6 分）试证明简单连通图 G 的任何一条边都可以是某一生成树的枝。 13（. 8 分）已知 Z 为整数集，△为 Z 上的二元运算，且对于?m, n ? Z ，m△n=m+n-30， 试证明（Z,△）为群。 （6 分）设(H , ?) 是(G, ?) 的子群，aH 和 bH 是 H 在 G 上的两个左陪集， 证明要么aH ? bH ? ? ，要么 aH=bH。 （6 分）设 f 和 g 都是群（A，。）到群（B，*）的同态映射， 证明 f（eA）=eB，其中 eA 与 eB 分别为群（A，。）与群（B，*）的幺元； 证明（C，。）是（A，。）的一个子群，其中C ? {x | x ? A且f (x) ? g(x)} 。 南京理工大学课程考试试卷答案及评分标准 课程名称： 离散数学 学分 4.5 分 教学大纲编号：试卷编号：考试方式： 闭卷 满分分值： 100 考试时间： 120 分钟 1.解（1）记B（e）表示e 为蜜蜂； P（e）表示e 为花粉； 原句可以翻译为： ?x(B(x) ?（?y(P(y) ? L(x，y)))) ------3 分 记 P（e） 表 示 e 为 人 ； M（e） 表 示 e 为 药 物 ； W（e1，e2）表示e1 对 e2 过敏。 原句可以翻译为： ?x(P(x) ?（?y(M (y) ? W (x，y)))) 2.证明：（1） P ? Q （2） (Q ? S ) ? (P ? Q) ------3 分 前提假设前提假设 （3） ((Q ? S ) ? (P ? Q)) ? (Q ? S ) 公理（A）代入 （4） ((Q ? S ) ? (P ? Q)) ? (P ? Q) 公理（B）代入 （5） Q ? S （2）（3）分离 （6） P ? Q （2）（4）分离 （7） (P ? Q) ? P 公理（A） （8） (P ? Q) ? Q 公理（B） （9）P （6）（7）分离 （10）Q （6）（8）分离 （11）S -------2 分 （5）（10）分离 （12） S ? (R ? (S ? R)) 公理（C）代入 （13） R ?