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南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)
课程名称:离散数学A 学分:4.5 大纲编号
试卷编号: 考试方式:闭卷 满分分值:100 考试时间:120 分钟
组卷日期:20XX 年 1 月 3 日 组卷教师(签字)朱保平 审定人(签字) 金忠
学生班级:计算机学院 10 级
1.(6 分)试把下列语句翻译为谓词演算公式
所有蜜蜂均喜欢所有的花粉;
有些人对某些药物过敏;
2(6 分)已知公理:(A) (P ? Q) ? P
(B) (P ? Q) ? Q
(C) (P ? (Q ? (P ? Q))
及分离规则和代入规则。
试用假设推理证明下面公式为定理
(P ? R) ? (((Q ? S ) ? (P ? Q)) ? (S ? R))
(6 分)试把函数h(x , x
1 2
, x , x
4 5
) ? f (a,g (x
1 5
,4), x2, g
2
(x , x
1 4
))(其中a 为自然数)
化为(m, n) 标准迭置。
(6 分)已知知识的表示如下:
(1) ?x(P(x) ? ( A(x) ? B(x)))
(2) ?x( A(x) ? Q(x))
(3) ??x(P(x) ? Q(x))
结论: ?x(P(x) ? B(x))
试用归结原理推理证明之。
5.(8 分)已知: A ? {{a}, b}, B ? {{?},{1,2}} 。试求
2 A
Ax2B
6.(8 分)已知 R 为 A 上的自反 2 的,对称的二元关系,试证明:
(1)对于?i ? N ,R’具有对称性;
(2)t(R)为 A 上的等价关系。
7.(6 分)G=(V,E)是一个简单无向图, n ?| V |, m ?| E | 。证明m1/2(n-1)(n-2),则 G
是连通图。
(6 分)已知 A,B,C,D 为四个集合,f 为 A 到 C 的满射,g 为 B 到 D 的满射,且
A ? B ? C ? D ? ? ,构造映射 h: A ? B ? C ? D ,且对于?x ? A ? B ,
f (x)当x? A
h(x)=
g(x)当x ? B
,试证明 h 为 A ? B 到C ? D 的满射。
(6 分)A 为任意一个集合,试证明|A| ? 2|A。|
(8 分)根据要求作图:
画出一个非哈密尔顿图但有哈密尔顿通路的欧拉图,它有奇数个顶点,偶数条边;
画出一个不是欧拉图的哈密尔顿图,它有偶数个顶点,奇数条边。
11.(8 分)G=(V,E)是一个简单平面图,|E|30,试证明至少有一个顶点的度数小于或等于 4。
12.(6 分)试证明简单连通图 G 的任何一条边都可以是某一生成树的枝。
13(.
8 分)已知 Z 为整数集,△为 Z 上的二元运算,且对于?m, n ? Z ,m△n=m+n-30, 试证明(Z,△)为群。
(6 分)设(H , ?) 是(G, ?) 的子群,aH 和 bH 是 H 在 G 上的两个左陪集,
证明要么aH ? bH ? ? ,要么 aH=bH。
(6 分)设 f 和 g 都是群(A,。)到群(B,*)的同态映射,
证明 f(eA)=eB,其中 eA 与 eB 分别为群(A,。)与群(B,*)的幺元;
证明(C,。)是(A,。)的一个子群,其中C ? {x | x ? A且f (x) ? g(x)} 。
南京理工大学课程考试试卷答案及评分标准
课程名称: 离散数学 学分 4.5 分 教学大纲编号:试卷编号:考试方式: 闭卷 满分分值: 100 考试时间: 120 分钟
1.解(1)记B(e)表示e 为蜜蜂;
P(e)表示e 为花粉; 原句可以翻译为:
?x(B(x) ?(?y(P(y) ? L(x,y)))) ------3 分
记 P(e) 表 示 e 为 人 ; M(e) 表 示 e 为 药 物 ; W(e1,e2)表示e1 对 e2 过敏。
原句可以翻译为:
?x(P(x) ?(?y(M (y) ? W (x,y))))
2.证明:(1) P ? Q
(2) (Q ? S ) ? (P ? Q)
------3 分
前提假设前提假设
(3) ((Q ? S ) ? (P ? Q)) ? (Q ? S )
公理(A)代入
(4) ((Q ? S ) ? (P ? Q)) ? (P ? Q)
公理(B)代入
(5) Q ? S
(2)(3)分离
(6) P ? Q
(2)(4)分离
(7) (P ? Q) ? P
公理(A)
(8) (P ? Q) ? Q
公理(B)
(9)P
(6)(7)分离
(10)Q
(6)(8)分离
(11)S
-------2 分
(5)(10)分离
(12) S ? (R ? (S ? R))
公理(C)代入
(13) R ?
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