不定积分习题和答案.docx

不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 x 2x? dx ? x 2 x １） x 2 ? (x ? 2) 2 dx ２） ? x 2 dx ３） ４） 1 ? x 2 ? 2 ? 3x ? 5 ? 2 x dx ? cos 2x dx ５） 3x ６） cos 2 x sin 2 x ? (2ex ７） 3 )dx x ? (1 ? ８） 1 ) x xdx x 2 ２、求下列不定积分（第一换元法） ? (3 ? 2x)3 dx １）  ? dx 3 2 3 2 ? 3x t? sin t dt ? dx t ３） ４） x ln x ln(ln x) ? dx ? dx ５） cos x sin x ６） e x e ? x ? x cos( x 2 )dx ? 3x3 dx ７） ? sin x  dx ?  1 ? x dx ８） 1 ? x 4 ９） cos 3 x 10） 9 ? 4 9 ? 4x 2 ? cos 3  xdx 11） 2x 2 ? 1 12） ? sin 2x cos 3xdx ? tan 3 x sec xdx 13) 14) ? x3 dx ? 1 dx 15) 9 ? x 2 16) 3cos 2 x ? 4 sin 2 x x x (1 ? x) 1 ? 1 ? x2 ? 102 arccos x dx  18) ? arctan xdx 3、求下列不定积分（第二换元法） x 1 ? x 1 ? x 2 １） x 2 ? 4 x 2 ? 4 ? sin xdx ２） a 2 ? x a 2 ? x 2  dx,(a ? 0) ３） x ４） (x 2 ? 1)3 (x 2 ? 1)3 1 ? 2x ５） ６） x ? 1 x ? 1 ? x 2 ７） ? dx 1 1 ? 1 ? x 2 ４、求下列不定积分（分部积分法） ? xsinxdx １） ? x 2 ln xdx ? arcsin xdx ２） x? e ?2 x sin dx x 2 ３） ４） ? x 2 arctan xdx ? x 2 cos xdx ５） ６） x? x 2 cos 2 dx x ? ln 2 xdx ７） ８） 2 ５、求下列不定积分（有理函数积分） ? x3 dx １） x ? 3 ? 2x ? 3 dx ２） x 2 ? 3x ? 10 dx ? 3） x(x 2 ? 1)  （Ｂ） 1、一曲线通过点(e2,3) ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。 F (x) 1 3 ? 1 ? x 2 1 ? x 2 2、已知一个函数 的导函数为 ，且当 时函数值为 ，试求此函数。 ? f (x)dx ? F (x) ? c 3、证明：若 ，则 ? f (ax ? b)dx ? F (ax ? b) ? c, (a ? 0) 1a 。 1 4、设  f (x) 的一个原函数为 sin x x ? xf ，求 ?(x)dx 。 5、求下列不定积分 ? 1 ? sin ? 1 ? sin 2xdx １） 2 ２） arctan 1 arctan 1 x ３） 1 ? x 2 dx ? x ４） 1 ? x dx 1 ? x ? dx ５） (x 2 ? a 2 )(x 2 ? b 2 ) ? x x dx ６） 2a ? x x 1 ? ln x 1 ? ln x 7） ? xearctan x dx 3 8） (1 ? x 2 ) 2 求以下积分 ex ?1? ex ?1 １）  dx ? 2) （Ｃ） dx sin(2x) ? 2 sin x ??xarctan ??x dx ? x5 dx ３） e2 x ４） 4 x3 ? 1 ? x5 ? xdx ? sin x cos x dx ５） x8 ? 1 ６） sin x ? cos x 第四章 不定积分习 题 答 案 （Ａ） 2? 1 ? c ? 2 x ?3 ? c 2 １、（１） x （２） 3 1 x 3 ? 2x 2 ? 4x ? c （３） 3 （４） x ? arctan x ? c 5( 2) x 2x ???3 ? c （５） ln 2 ? ln 3  （６） (cot x ? tan x) ? c （７）  2ex ? 3ln x ? c  （８） 4(x 2 ? 7) ? c 74 x3? 1 (3 ? 2x)4 ? c ? 1 (2 ? 3x) 2 ? c 74 x 3 ２、（１） 8 t（３） ? 2 cos ? c t ln tan x ? c （５） 1 （２） 2 ln