不定积分-定积分复习题及答案.docx

PAGE PAGE 1 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分） 1、设sin x 为 f (x) 的一个原函数，且a ? 0 ，则?  f (ax) dx 应等于（ ） x a （A） sin ax ? C ； （B） sin ax ? C ； （C） sin ax ? C ； （D） sin ax ? C a3 x a2 x ax x 2、若e x 在(??, ??) 上不定积分是 F (x) ? C ，则 F (x) ? （ ） ?ex ? c , x ? 0 ?ex ? c, x ? 0 （A） F (x) ? ? ??e? x 1 ? c , x ? 0 2 ；（B） F (x) ? ? ??e? x ； ? c ? 2, x ? 0 ?ex , （C） F (x) ? ? ? ?e? x x ? 0 ? 2, x ? 0 ?ex , x ? 0 ；（D） F (x) ? ? ??e? x , x ? 0 ?1, x ? 0 ?3、设 f (x) ? ?0, x ? 0 , F (x) ? ? x ? ?? ?1,x ? 0 0 ? F (x) 在 x ? 0 点不连续；  f (t)dt ，则（ ） F (x) 在(??, ??) 内连续，在 x ? 0 点不可导； （C） F (x) 在(??, ??) 内可导，且满足F ?(x) ? f (x) ； （D） F (x) 在(??, ??) 内可导，但不一定满足F ?(x) ? f (x) 。 ? x t sin tdt 04、极限lim ＝（ ） 0 x?0 ? x t 2 dt 0 （A）－1； （B）0； （C）1； （D）2 5、设在区间[a, b] 上 f (x) ? 0, f ?(x) ? 0, f ?(x) ? 0 。令s 1 ? ? b a f (x)dx ， s 2 ? f (b)(b ? a) s ? 1 [ f (a) ? f (b)](b ? a) ，则（ ） 3 2 （A） s ? s 1 2 ? s ； （B） s 3 2 ? s ? s 1 3 ； （C） s 3 ? s ? s 1 2 ； （D） s 2 ? s ? s 3 1 二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分） 1、设 f (x) 的一个原函数是e?2 x ，则它的一个导函数是 。 2、设?2 0 f (x)dx ? 1, f (2) ? 2 ，则?1 xf ?(2 x)dx ? 。 0 3、已知 f ?(ex ) ? xe? x ，且 f (1)? 0 ，则 f (x) ???。 1t4、函数 F (x) ? ? x (2 1 t 1 )dt(x ? 0) 的单调减少区间为 。 5、由曲线 y ? x2 与 y ?  x所围平面图形的面积为 。 x 三、计算题 （第 1，2，3，4 题各 6 分，第 5，6，7 题各 8 分，共 48 分） (1? x)2 1、计算? x(1? x2 )dx 2、计算? x tan2 xdx 3、设 x ? 1，求 ? x (1? t )dt ?1  4、设 ?1? x2 , x ? 0 f (x) ? ? ?e? x , x ? 0 ，求?3 1 f (x ? 2)dx 5、 ?1 ln(1? x) dx 0 (2 ? x)2 6、计算??? 1 dx x x x x ?1 7、已知曲线C 的方程为 y ? f (x) ，点(3, 2) 是它的一个拐点，直线l , l 1 2  分别是曲线C 在点 (0,0) 与(3, 2) 处的切线，其交点为 (2, 4) 。设函数 f (x) 具有三队连续导数，计算定积分 ? 3 (x2 ? x) f ?(x)dx 。 0 四、解答题（本题 10 分） 设 f (x) 连续，? (x) ? ?1 0 f (xt)dt ，且lim x?0 f (x) x ? A（ A 为常数），求??(x) ，并讨论??(x) 在 x ? 0 处的连续性。 五、应用题（本题 6 分） 设曲线方程为 y ? e? x (x ? 0) ，把曲线 y ? e? x , x 轴、 y 轴和直线 x ? ? (? ? 0) 所围平 面图形绕 x 轴旋转一周，得一旋转体。（1）旋转体体积V (? ) ；（2）求满足V (a) ?的a 值。 六、证明题（6 分） 1 lim V (? ) 2 ???? 设 f (x) 在[a, b] 上连续且单调增加，证明：不等式?b xf (x)dx ? a ? b ?b f (x)dx 。 a 2 a 不定积分、定积