不等式证明19个典型例题.docx

实用标准文案 实用标准文案 文档 文档 不等式证明 19 个典型例题 典型例题一 例 1 若0 ? x ? 1 ，证明 log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) （ a ? 0 且a ? 1 ）． a 分析 1 用作差法来证明．需分为a ? 1 和0 ? a ? 1 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明． 解法 1 （1）当a ? 1 时， 因 为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 ， 所 以 log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) a ? ? log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) a ? ? log (1 ? x 2 ) ? 0 ． a （2）当0 ? a ? 1 时， 因 为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 所以 log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) a ? log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) a ? log (1 ? x 2 ) ? 0 ． a 综合（1）（2）知log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) ． a 分析 2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法 2 作差比较法． 因为 log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) a lg( 1 ? x ) lg lg( 1 ? x ) lg a lg( 1 ? x ) lg a lg a? 1 ?lg( 1 ? x ) ? lg( 1 ? x ) ? lg a lg a? 1 ?? lg( 1 ? x ) ? lg( 1 ? x ) lg a lg a? ? 1 lg( 1 ? x 2) ? 0 lg a 所以 log (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) ． a 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二 用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例 2 设a ? b ? 0 ，求证： a a b b ? a b b a . 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与 1 的大小关系，从而证明不等式． 证明： a a b b a b b a a ? a a ? b ? b b ? a ? ( b  ) a ? b a ∵ a ? b ? 0 ，∴ b  ? 1, a ? b ? 0 . a ∴ ( ) a ? b ? 1 . ∴ b a a b b a b b a  ? 1 . 又∵ a b b a ? 0 ， ∴ a a b b ? a b b a . . 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1 的大小. 典型例题三 a 4 例 3 对于任意实数a 、b ，求证 b 4 2 a ? b ? ( 2 ) 4 （当且仅当a ? b 时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有( a ? b ) 4 ， 2 展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式： a 2 的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 b 2 ? 2 a b 出发，再恰当地利用不等式 证明：∵ a 2 b 2 ? 2 a b （当且仅当a 2 ? b 2 时取等号） 两边同加( a 4  ? b 4 ) : 2 ( a 4  ? b 4 ) ? ( a 2 ? b 2 ) 2 ， a 4 ? b 4 a 2 ? b 2 即： ? ( ) 2 2 2 （1） 又：∵ a 2  b 2 ? 2 a b （当且仅当a ? b 时取等号） 两边同加( a 2 ? b 2 ) : 2 ( a 2 ? b 2 ) ? ( a ? b ) 2 a 2 ? b 2 a ? b ∴ ? ( ) 2 2 2 a 2 ? b 2 a ? b ∴ ( ) 2 ? ( ) 4 2 2 （2） a 4 由（1）和（2）可得 b 4 2 a ? b ? ( 2 ) 4 （当且仅当a ? b 时取等号）． 说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明， 要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来 解． 典型例题四 例 4 已知a 、b 、c ? R ?， a ? b ? c ? 1 ，求证 1 ? a 1 1 ? ? 9