2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第六章 3-2　离散型随机变量的方差 学案.docx

3.2　离散型随机变量的方差 [学习目标]　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 导语 均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．本节我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度——方差进行研究． 一、离散型随机变量的方差 问题1　A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？ 提示　EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44. EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性． 知识梳理 若离散型随机变量X的分布列如表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝eq \i\su(i＝1,n,)(xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记作σX. 注意点： 方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； 反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散． 例1　已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P eq \f(1,2) eq \f(1,3) p 若EX＝eq \f(2,3)，求DX的值． 解　由eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋p＝1，得p＝eq \f(1,6). 又EX＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)x＝eq \f(2,3)， ∴x＝2. ∴DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9). 反思感悟　求离散型随机变量的方差的方法 (1)根据题目条件先求分布列． (2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差． 跟踪训练1　(1)设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,6) eq \f(1,4) 则DX等于(　　) A.eq \f(29,12)B.eq \f(121,144)C.eq \f(179,144)D.eq \f(17,12) 答案　C 解析　由题意知， EX＝1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,4)＝eq \f(29,12)， 故DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(179,144). (2)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq \i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　) A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 答案　B 解析　X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的均值EX＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差DX＝(1－EX)2×p1＋(2－EX)2×p2＋(3－EX)2×p3＋(4－EX)2×p4，标准差为eq \r(DX). A选项的