2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第三章 §2　第2课时　空间向量的数量积 学案.docx

第2课时　空间向量的数量积 [学习目标]　1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解投影向量以及投影数量的概念.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离． 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义． 一、空间向量的夹角及数量积 知识梳理 1．两个向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量平行 当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反 向量垂直 当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b 规定：零向量与任意向量垂直 2.两个向量的数量积 (1)空间向量的数量积 已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. ①cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)； ②|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2)，|a|2＝a2； ③a⊥b?a·b＝0. (2)运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(BA,\s\up6(→))；(2)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))；(3)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(DC,\s\up6(→))；(4)eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→)). 解　(1)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BD,\s\up6(→))·eq \o(BA,\s\up6(→)) ＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up6(→))|·|eq \o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq \o(BD,\s\up6(→))，eq \o(BA,\s\up6(→))〉 ＝eq \f(1,2)×1×1×cos60°＝eq \f(1,4). (2)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BD,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up6(→))|·|eq \o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq \o(BD,\s\up6(→))，eq \o(BD,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1×cos0°＝eq \f(1,2). (3)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BD,\s\up6(→))·eq \o(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up6(→))|·|eq \o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq \o(BD,\s\up6(→))，eq \o(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq \f(1,4). (4)eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)(eq \o(CB,\s\up6(→))＋eq \o(CA,\s\up6(→))) ＝eq \f(1,4)[eq \o(BD,\s\up6(→))·(－eq \o(BC,\s\up6(→)))＋eq \o(BA,\s\up6(→))·(－eq \o(BC,\s\up6(→)))＋eq \o(BD,\s\up6(→))·eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(CA,\s\up6(→))] ＝eq \f(1,4)[－eq \o(BD,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))－eq