2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第六章 3-1　离散型随机变量的均值 学案.docx

3.1　离散型随机变量的均值 [学习目标]　1.通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 导语 在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件，那么如何比较两个选手射击的技术水平呢？如何选择优秀运动员才能使获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识，今天我们就来一起学习一下！ 一、离散型随机变量的均值 问题1　某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的分布列吗？ 提示　eq \f(18×3＋24×2＋36×1,3＋2＋1)＝18×eq \f(1,2)＋24×eq \f(1,3)＋36×eq \f(1,6)＝23(元/kg)． ξ的分布列为 ξ 18 24 36 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 知识梳理 1．设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)． 均值EX刻画的是X取值的“中心位置”． 2．若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝0×(1－p)＋1×p＝p. 注意点： (1)分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平． (2)随机变量的分布完全确定了它的均值，两个不同的分布可以有相同的均值． 例1　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值． 解　取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8， P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(18,35)， P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝8)＝eq \f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(1,35)， 故X的分布列为 X 5 6 7 8 P eq \f(4,35) eq \f(18,35) eq \f(12,35) eq \f(1,35) ∴EX＝5×eq \f(4,35)＋6×eq \f(18,35)＋7×eq \f(12,35)＋8×eq \f(1,35)＝eq \f(44,7). 反思感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX. 跟踪训练1　某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”， 则X的可能取值为－4,1,3,6. ∴P(X＝－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,9)， P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)， P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f