线性代数教学课件电子教案全套课件.pptx

;;第一章 n阶行列式;二元线性方程组与二阶行列式;方程组(1)的解(2)式可写为;三阶行列式;§2 全排列及其逆序数;例1 求排列451362的逆序数.;表示位于不同行不同列的n个数的乘积的代数和;;例3 计算行列式 ;几个特殊行列式： ;例6 证明 ;?;;;;;例7 计算;例8 计算n阶行列式 ;例9 :在行列式det(aij)中, 如果aij =– aj i .称为反对称行列式.;;引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij 外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即 .;2) 一般情形,;推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即;例10 计算n 阶行列式 ;例12 计证明范德蒙行列式 ;从第n行开始, 后行减去前行的x1倍,有;例13 证明;例14 计算 ;§5 克莱姆法则;;定理4 如果线性方程组(*)的系数行列式D?0,则(*)一定有解,且解是唯一的。;例15 解线性方程组 ;例16 问?取何值时,齐次线性方程组有非零解?;计算行列式常用方法小结;;本章目的与要求;1．向量内积的概念与性质;2. 向量的范数（长度）及两向量的夹角;当 时,;证明;例1 已知3维向量空间R3中两个向量;4.规范正交基的定义;5. 施密特正交化的方法;试用Schmidt正交化过程把该组向量正交化。;在把它们单位化,取;例3 已知 ,求一组非零向量a2, a3,使 a1, a2, , a3 两两正交.;6. 正交矩阵、正交变换的定义;例4 验证矩阵;定义6 设A是n阶方阵, 若对于数λ,存在非零向量x，使得 ;即;例题;证明 因为 Ax=λx ,由例1知 Ak x =λk x ,;4. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.;证明 设为λ1,λ2, …,λm是方阵A特征值,且各不 相同, p1, p2,…,pm依次是与之对应的特征向量. 设有 x 1, x2 ,…,xm使; 特征值和特征向量的求法;例7 求矩阵 的特征值与特征向量;当?2=?3=1 时, 解方程 (A-E)x=0. 由;例8 求矩阵 的特征值与特征向量。;当?2=?3=2 时, 解方程 (A-2E)x=0. 由;第三节 相似矩阵;推论: 若n 阶方阵A与对角阵; 要讨论的主要问题; 反之，由上节知A恰好有n个特征值，并可对应地求得n个特征向量，这n个特征向量即可构成矩阵 P，使 AP=P?.(因为特征???量不是唯一的，所以矩阵P也不是唯一的，并且P可能是复矩阵);定理4 n阶方阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) ? A有n个线性无关的特征向量.;§4 实对称阵的相似矩阵;定理5的证明:;定理6的证明:;定理8：设A为 n 阶实对称阵，则必有正交矩阵P， 使P -1AP=P TAP=Λ，其中Λ是以A的 n 个 特征值为对角元素的 对角阵。;;当?2=?3=4 时, 由;在解析几何中,为了便于研究二次曲线;定义8 含有n个变量x1,x2,... xn的二次齐次函数;讨论的主要问题是：;二次型的矩阵表示:;;;定理10 任给二次型;解 二次型得矩阵为;当?2=?3=?4=1 时,解方程(A-E)x=0 ,由;于是得正交变换;第六节 用配方法化二次型成标准型;例12 化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵。;第七节 正定二次型;定义9 设有实二次型 f(x)=xAx, 如果对任何x? 0 ,都有f(x)0 (显然 f(0)=0)，则称 f为正定二次型，并称对称阵A是正定的，记作A0；如果对于任何的 都有f(x)0，则称 f为负定二次型，并称对称阵A是负定的，记作A0。;定理13 对称阵A为正定 ? A的各阶主子式都为正, ;例13 判别二次型 的正定性。;工程数学线性代数目录;第二章 矩阵及其运算;由;如果两个矩阵 ;零矩阵 ;对角矩阵 ;数量、单位矩阵;例１（系数矩阵）由n个未知量m个方程组成的方程组为 ;例２（通路问题） ;;数与矩阵相乘 ;设 ;把 ;转置矩阵具有下面性质： ;方阵的行列式 ;当A = 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，;设 ;定理1 如果矩阵;方阵的逆阵性质;