椭圆常见性质.docx

word. word. 椭圆常见性质 | PF | 1. 1 d 1 ? e ? 1 PT 平分?PF F 在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的 1 2 圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切. 设 A , A 为椭圆的左,右顶点,则?PF F 在边 PF (或 PF )上的旁切圆,必与 A A 所在的直 1 2 1 2 2 1 1 2 线切与 A 2 (或 A ). 1 椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与 a-c. 椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 c. 椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 ,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线 ,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线 ,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆的和椭圆长轴为直径的圆的切点. ?x2 ? 椭圆 a2 y2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦半径公式: b2 | PF 1 |? a ? ex 0 ,| PF 2 |? a ? ex 0 .( x 0 是P 点横坐标). 设 P 点是椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 上异于长轴端点的任一点 , F , F  为其焦点 .记 a2 b2 1 2 2b2 ? ?F PF ? ? ,则(1)| PF || PF |? ;(2) S ? b2 tan . 121 2 1 1 2 2 1? cos? ?PF F 2 若 P 为椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 上异于长轴端点的任一点, F , F 为其焦 点, ?PF F a2 ? ?, ?PF b2 F ? ? , 则 a ? c ? tan ? 1 2 tan ? . 1 2 2 1 a ? c 2 2 设椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F , F ,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a2 b2 1 2 在?PF F 中,记?F PF ? ?, ?PF F ? ? , ?F F P ? ?, 则有 sin ? ? e . 1 2 1 2 1 2 1 2 sin ? ? sin ? ?x2 ? 椭圆 y2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个顶点 A (?a,0), A (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 a2 b2 1 2 P , P 时, A P 与 A P x2 y2 ?交点的轨迹方程是 ? ? 1. 1 2 1 1 2 2 a2 b2 若 P(x , y 0 0 ) 在椭圆 x2 ? y2 a2 b2 ? 1上,则过 P 点的椭圆的切线方程是 xx 0a2 0 yy ? 1 . ?0b2 ? 0 ?x2 y2 ? AB 是椭圆 a2 b2  ? 1的不平行于对称轴的弦,M 为 AB 的中点,则k ? k OM AB ? ? b2 . a2 若 P(x , y 0 0 ) 在 椭 圆 x2 ? a2 y2 ? 1 内 , 则 被 P 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 b2 ?xx yy ? 0 0 a2 b2 x2 y2 ??0 0 . ? ? a2 b2 x2 y2 x2 y2 xx yy 若 P(x , y 0 0 ) 在椭圆 ? a2 b2 ? 1内,则过 P 的弦中点的轨迹方程是 ? ? a2 b2 0 ? 0 . a2 b2 ?x2 y2 ? 已知椭圆 a2 b2 ? 1(a ? b ? 0) ,O 为坐标原点,P,Q 为椭圆上两动点，且OP ? OQ ， 1 1 1 1 4a2b2 （1）  | OP |2 ? ? | OQ |2 ? a2 b2 ；（2） | OP |2 | OQ |2 的最大值为 a2 ? b2 ； （3） S  ?OPQ  的最小值是 a2b2 2a2 ? b2 . 2 ?x2 y2 ? 若椭圆 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为F , F  ，左准线为 l，则当 ?1 ? e ? 1 a2 b2 1 2 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF 1 是 P 到对应准线距离的 d 与 PF 2 的比例中项。 ?x2 y2 ? 24.P 为椭圆 ? 1(a ? b ? 0) 上任一点， F