常微分方程期末考试练习题及答案..docVIP

常微分方程期末考试练习题及答案. 一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本 概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程 条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。 类型1.1.形式： 形如 （2.2） 的方程，此类方程称为齐次微分方程， 这里g（u）是u的连续函数。 解法：作变量变换 u=， （2.3） 即y=ux，从而： （2.4） 将（2.3）（2.4）代入（2.2），则原方程变为： 这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。 例3.求解方程： 解：令 u=x+y，则y=u-x，于是： 于是，原方程可化为： 分离变量得： 积分之，得：arctanu=x+c 变量回代，既得 方程之通解： arctan（x+y）=x+c 例4求解方程. 解：由题意可得：， 即： （2.5） 令，则，于是：， 代入（2.5）得：， 分离变量，并整理得： 两边积分得：，令u= 则有： ，从而有： （c0）. 即：，变量回代得：+1 () 类型二：形式： 解法：1.当c1=c2=0时， 转化为齐次方程。 2.当时， 则 从而可转化为变量分离方程。 3.当且不全为零时， 解方程组｛，求交点, 令x=X+α，，则原方程化为： 这是齐次方程。 例5.求解方程. 解：｛ 得交点｛， 令｛代入原方程有： 令，则，于是：， 从而有：， 整理得：， 两边积分之，得：， 即： （c10） 即 ：， 变量回代，并整理得： （ c1-=c） 例6. 求解方程. 解：令，则 y=x，从而：， 代入原方程，得：， 整理得：， 分离变量得：， 两边积分之：， 变量回代，并整理得： （c是任意常数） C.线性微分方程和常数变易法 1.形式：形如的一阶方程称为一阶线性方 程.当时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的. 2. 解法：利用常数变易法求解。 其解为：.下面用具体 的题目体现这一思想. 注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注 标准式（的系数为1），否则易出错. 例7 求方程的通解. 解：首先求线性齐次方程的通解， 分离变量得：，两