《计算机图形学》曲线与曲面.pptVIP

* 8.4.2 B样条曲线的性质 1．局部支柱性? B样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是在参数变化范围内，每个基函数在ti到ti+k的子区间内函数值不为零，在其余区间内均为零，通常也将该特征称为局部支柱性。 * ? * 2．B样条的凸组合性质 B样条的凸组合性和B样条基函数的数值均大于或等于0保证了B样条曲线的凸包性，即B样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内。? * 3．连续性 若一节点矢量中节点均不相同，则k阶（k-1次）B样条曲线在节点处为k-2阶连续。 B样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关。 重节点问题? * 4．导数 ? ? 5．几何不变性 6．变差减少性 * 参数多项式曲面 曲面的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示 * 参数多项式曲面 参数表示 * 参数多项式曲面 等参数曲线 一个参数固定，一个参数自由变化 U曲线 V曲线 切矢量 切平面 法矢量 * 参数多项式曲面 参数多项式曲面的定义 系数矩阵 * 参数多项式曲面 矩阵表示 * 参数多项式曲面 * 参数多项式曲面 参数多项式曲面的生成 * Bezier曲面 Bezier曲面的定义及性质 1．Bezier曲面的定义 在空间给定(n+1)×(m+1)个点Pij(i=0,1…n; j=0,1…m)，则可逼近生成一个n×m次的Bezier曲面片，其定义为： 称Pij为P(u,v)的控制顶点；把由两组多边形Pi0Pi1…Pim (i=0,1,…n)和P0jP1j…Pnj (j=0,1,…m)组成的网格称为P(u,v)的控制多面体（控制网格），记为{Pij}。同样，P(u,v)是对{Pij}的逼近， {Pij}是P(u,v)的大致形状的勾画。 * 4．对称性5．凸包性 6．几何不变性 7．变差减少性 8．控制顶点变化对曲线形状的影响 * 1．一次Bezier曲线(n=1) ? Bezier曲线的矩阵表示 * 2．二次Bezier曲线(n=2) ? ? * 3．三次Bezier曲线(n=3) ? ? ? ? ? * * * 8.3.3 Bezier曲线的生成 1．绘图一段Bezier曲线 * 2．Bezier曲线的拼接 问题的提出：如何保证连接处具有G1和G2连续性。 在两段三次Bezier曲线间得到G1连续性 为实现G1连续，则有： 亦即： * ?在两段三次Bezier曲线间得到G2连续性： * 8.4.1 B样条曲线的定义 定义： de Boor点、B样条控制多边形、B样条基函数 * ? 参数说明 m是曲线的阶数，(m-1)为B样条曲线的次数，曲线在连接点处具有(m-2)阶连续。 * 节点矢量：节点矢量分为三种类型：均匀的，开放均匀的和非均匀的。 当节点沿参数轴均匀等距分布，即tk+1-tk=常数时，表示均匀B样条函数。 当节点沿参数轴的分布不等距，即(tk+1-tk)≠常数时，表示非均匀B样条函数。 * 1．均匀周期性B样条曲线 T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2) T=(0,1,2,3,4,5,6,7) 均匀B样条的基函数呈周期性： * 均匀二次（三阶）B样条曲线 取n=3，m=3，则n+m=6，不妨设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)： * * * * ? * 曲线的起点和终点值： 均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数： * 结论： 对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B样条曲线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之间，终止点位于最后两个控制点之间。 对于高次多项式，起点和终点是m-1个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。 * 三次（四阶）周期性B样条 取n=3，m=4节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： * * ? 三次周期性B样条的边界条件为： * 2．开放均匀B样条曲线 节点矢量可以这样定义： 令L=n-m，从0开始，按ti≤ti+1排列。 * ? 开放均匀的二次（三阶）B样条曲线 假设m=3，n=4，节点矢量为：T=(t0 ,t1,?,tn+m) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。 * * * 3．非均匀B样条曲线 ? ? * 4．反求B样条曲线控制点及其端点性质 问题：所谓反求B样条曲线控制点是指已知一组空间型值点Qi(i=1,2,?,n)，要找一条m次B样条曲线过Qi点，也即找一组与点列Qi对应的B样条控制顶点Pj(j=0,1,?,n+1)。 * ? 用分段三次B样条曲线pi来拟合，其上型值点和控制点的位置矢量之间有关系： 假定需求首末两点过Q1和Qn的非周期三次B样条曲线，则有P1=Q1,Pn=Qn，于是求解控