圆外切四边形的性质及应用中学课件.docx

圆．令A、B、C、D所代表的复数为a,b,c,d，则由熟知结论可知-可修编.AB1C1A1OBDC1、NN经过同一个点．证：如图，设∠BCD的切圆圆心为I，∠BAI=∠ 圆．令A、B、C、D所代表的复数为a,b,c,d，则由熟知结论可知-可修编.AB1C1A1OBDC1 、NN经过同一个点．证：如图，设∠BCD的切圆圆心为I，∠BAI=∠IAD=,∠ABI=∠CBI=, da+b]2ab－cda+b+c+d]abcdabcda2b2c2d2a3b3c3d3a3b3c3d D、M代入得A－MC－MB－D22bc－cd－ab2ad－cd－ab b+cc+d－a－ba+dc+ ∵∠LCM= 180 －∠ LPM= ∠PLM+ ∠PML= ∠MLK+ ∠LMN, C L β O' A α M ∠KAN= ∠LKN+ ∠KNM． D；A、P、C分别三点共线． PC AP BC AB , B α K T α ●Ω ● P S N D 又易证 AC⊥BD，∴ = r = …① 圆外切四边形的性质及应用 01 双心四边形，外心为 O，外接圆半径为 R，心为 P，切圆半径为 r，OI= h．证明 证：如图，分别过 K、L、M、N作 PK、PL、PM、PN垂线交于 A、B、C、D． 1 2 1 1 1 R+ h 2 + R－h 2 = r2 ． 1 2 ∴A、B、C、D 四点共圆． 我们设其半径为 ，易证 B、P、 ∴r = PLsin = PBsin sin = PB · PC ·AP= 2 －d2 d 为 ABCD的外心记为 与 P 的距离 ． PB 1 2 －d2 BC ·AB 2 2 延长 NP交 BC于 T，易证 T 为 BC中点 卜拉美古塔定理 ． ∴ T∥PS, S∥PT． -可修编. 2010年中等数学增刊).利用引理1和2,可以简洁给出证明.证明:设DEM,BCN.切点为 2010年中等数学增刊).利用引理1和2,可以简洁给出证明.证明:设DEM,BCN.切点为X,Y,D .证明:无论如何选取直线l,直线PQ总过定点.题记:本题是2009年捷克波兰斯洛伐克数学竞赛题3(见 －b2[abc+d－cda+b]2比较③④知仅需证4abcdc+d－a－b2－2c+d－a－bcd－ 而KN∥KN且=2rsin且KN⊥AI．KNKN同理可得MNMLMNMLLK∥LK,=2sinsin 在线段 EF上取点 O使 = C 又 ON= 2 2 －d2 O为 KLMN的外心 即为 O 且 1 4 2 2 R2 + h2 1 1 1 2 . □ TPS 中， 4OT2 = PS2 + OS2 －d2 = 2 2 －d2． 1 2 1 R= 2 2 2 －d2 …②， h = d…③ 由①②③得 r2 = 2 －d2 2 = R2 －h2 2 = R+ h 2 + R－h 2 ． 02 证明圆外切四边形 ABCD的对角线 AC、BD的中点 E、F与圆心 O共线． 证：沿用上题的记号，对点 X、Y、Z，用 d X, YZ表示 X到 YZ的距离． 设⊙O半径为 r，∠BAD= 2 , ∠ABC= 2 , ∠BCD= 2 , ∠CDA= 2 ，则 , , , 均为锐角且 + + + = ． ∴sin , sin , sin , sin > 0． 连结 EF若 E与 F重合，则结论显然成立，以下设 E与 F不重合 ． EO sin sin OF sin sin ． 连 OA、OD、OGF为⊙O与 AD相切处 ，则 OG⊥AD, AG= OGcot = rcot , GD= OGcot = rcot ． B B A ● O(O' ) F ● E ● D -可修编. D、M代入得A－MC－MB－D22bc－cd D、M代入得A－MC－MB－D22bc－cd－ab2ad－cd－ab b+cc+d－a－ba+dc+ abc+d+cda+bc+d－cda+b2abc+d2－2cda+b2=2abc+d2－2cda+b 点仍记为K、L、M、N，由引理KM∩LN=E．以I为中心，⊙KNM为反演圆作反演，A、B、C、D分别 点L，∠C和∠D的外角平分线相交于点M，∠D和∠A的外角平分线相交于点N．证明，直线KK、LL、MM 1 2 = sin · r + r = + 1 r． sin cos + sin EO sin sin OF sin sin d O , CD = sin