常微分方程第三章.docVIP

常微分方程第三章 PAGE PAGE 1 第三章 存在和唯一性定理 一． [内容提要] 本章主要介绍解的存在和唯一性定理、接的延伸和解的最大存在区间等有关问题.解的存在和唯一性定理是微分方程中最常用的定理，学过这一定理之后，对于微分方程的通解概念，才由形式上的理解转为实质上的理解；另外在求近似解之前，都必须从理论上做解的存在唯一性判定. 关于解的延伸定理，它把解的存在唯一性定理所得到的、具有局部性的结果，延伸到全局上去.这一定理无论在微分方程的理论研究和实际应用中，都是很有意义的. 二． [关键词] 存在和唯一性，解的延伸，毕卡逐次逼近法 三． [目的和要求] 1． 熟练掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理. 2． 了解右端函数连续性保证初值问题解的存在性，李普希茨条件保证初值问题解的唯一性这些事实. 3． 理解初值问题解的存在唯一性中解的存在区间的意义，会求其解的存在区间. 4． 理解解的延伸概念，理解延伸定理的意义. 四．[教学过程] 在第二章中我们已经讨论了不少寻找微分方程的通 的解的存在唯一性，我们将利用著名的Picard逐次逼近法来证.此方法的主要思想是在所设条件下，构造一个连续函数列，它一致收敛的极限函数正好是所求始值问题的解.采用这个方法不仅证明了解的存在性，而且在证明解的存在唯一性的过程中，还提供了求近似解的构造性途径. 定理1 假设：1）在矩形区域 ， 内连续，记，. 2） 对满足李普希茨条件（或简称李氏条件），即存在常数，使得 其中，则方程在区间上存在唯一的，满足初值条件的解. 证明 证明步骤如下： （一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解； （二） 在区间上构造一个连续函数序列，称为毕卡序列； （三） 证明在区间上一致收敛； （四） 证明的极限函数是积分方程的解； （五）证明满足方程和条件的解必为. （一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解. 事实上，设是方程的解，故有 ， 两边从到取定积分得到 ， ， 即 ， ， 因此，是的定义在的连续解. 反之，若是的的连续解，则有 ， ， 微分之，得 . 又把代入，得到.故是方程的定义在上，且满足初值条件的解. 因此，下面我们只需证明积分方程在区间上有且仅有一个解. （二）在区间上，用逐次迭代法构造毕卡连续函数序列. 取初值为零次近似：. 利用，用零次近似代替积分号下的，得到函数 显然，在区间上是连续可微的，且由推出 这表明函数当时是连续的，且将位于矩形域上，我们称它为一次近似. 再利用，作出二次近似 ， 同样地有 ， 可以看出，当时，函数也是连续的，且它也完全位于矩形域上. 一般地，规定了次近似以后，就可以利用式得出次近似： 这样，我们就可以得到一个毕卡连续函数序列.用数学归纳法可证，每一个在区间上都是连续的.都满足，都位于矩形域上. （三） 下面证明按上述方法构造的函数序列在区间上一致收敛. 要证在区间上一致收敛，只须证明级数 一致收敛，因为是此级数的前项之和. 现在我们对级数的各项作估计，为此证明估计式 在上成立. 事实上，当时，由可知成立. 假设当时成立，注意到对满足李普希茨条件及式，便可推出 ， 所以当当时成立，故得证. 由于，从而 . 由此可见，级数的每一项的绝对值都不大于收敛正项级数 的对应项， （四） 证明的极限函数是积分方程的解. 现对式 两端取极限，当时，注意到收敛的一致性和的一致连续性，就得到 这表明是积分方程的连续解，从而也是始值问题，的解，故存在性获证. （五）证明解的唯一性. 设积分方程还有另一个解，则由推出