圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系初中教育.docx

径为4cm，120 径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为〔〕A.5cmB.43cmC.6cmD.33cm3.在同圆或 CABD，AMMBAOMBOM又FNOENO90，ONONOFNOENOFOEOFECNAMBD例4 ，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。7.辅助线方法小结：〔1〕有弦 ∴OC＝OG，且AG＝AC＝2a∵AE＝a，∴AE＝EG＝a即E为AG中点，O为CG中点∴M为△AC . 圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 ［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理与推论。 〔1 〕不能忽略“在同圆或等圆中〞这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所 对的弧、弦、弦心距不一定相等。 如图，同心圆，虽然 AOB COD ，但 AB CD ，而且 AB CD ，弦心 距也不相切。 O C A D B 〔2 〕要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对〞一词的含义，从 而正确运用上述关系。 下面举四个错例： 若⊙O中， AC DB ，则CE FD ， CEA DFB 这两个结论都是错误，首先 CE、FD 不是弦，∠CEA 、∠ BFD 不是圆心角，就不可以用圆 心角定理推论证明。 O E C A F D B 〔3 〕同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧 是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 〔4 〕在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要， 选择有关部分， 比如“等弧所对的圆 心角相等〞，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等〞等。 5. 1°的弧： 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份，我 们把每一份这样的弧叫做 1°的弧。 一般地，n°的圆心角对着n°的弧， n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数 和它所对的弧的度数相等。 注意： 这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。 而不是角与弧相等， 在书写时要防止出 . . ∴OC＝OG ∴OC＝OG，且AG＝AC＝2a∵AE＝a，∴AE＝EG＝a即E为AG中点，O为CG中点∴M为△AC D，OMOGB∴四边形OGEM是正方形1OGOMEGAB2AE2CAEMGBOD14.OFEOEF2 小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦〔直径〕时，弦心距缩小为零；当弦逐 AMACOMAMAMAOE60，AC//OEa12a23AM22OA3故BNABAM解析三：131 . 现“ AOB AB 之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定 是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 〔1 〕在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦 心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦〔直径〕时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距 逐步增大，趋近于半径。 〔2 〕在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心 角较大，反之也成立。 注意： 不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦 最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： 〔1 〕有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定 理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 〔2 〕在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 〔3 〕有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： 〔I 〕连过弧中点的半径；〔 II 〕连等弧对的弦；〔 III 〕作等弧所对的圆心角。 [ [典型例题] 例 1. 已知：如图，在⊙O 中，弦 AB 、CD 求证：〔 1〕AB ＝CD；〔 2〕PA＝PC A M B O 2 D N C 分析： 要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证， 由于已知角平分 线 PO 过圆心，利用弦心距相等可以解决。 证明： 〔 1 〕过 O 点作 OM ⊥AB 于 M ，ON ⊥CD