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常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题 3.4
(一)、解下列方程,并求奇解(如果存在的话):。
1、
解:令,则,
两边对x求导,得
从得 时,;
从得 ,
为参数,为任意常数.
经检验得 ,是方程奇解.
2、
解:令,则,
两边对x求导,得
,
解之得 ,
所以,
且y=x+1也是方程的解,但不是奇解.
这是克莱罗方程,因此其通解为,
从 中消去c,得奇解.
7、
解:令,则,
两边对x求导,得 ,
所以 ,
可知此方程没有奇解.
8、
解:
可知此方程没有奇解.
9、
解:令,则,
两边对x求导,得
解之得 ,
所以 ,
且 也是方程的解,但不是方程的奇解.
10、
解:
这是克莱罗方程,因此方程的通解为,
从中消去c,
得方程的奇解.
(二)求下列曲线族的包络.
1、
解:对c求导,得 x+2c=0, ,
代入原方程得,,
经检验得,是原方程的包络.
2、
解:对c求导,得 ,
代入原方程得 ,即,
经检验得是原方程的包络.
3、
解:对c求导,得 –2(x-c)-2(y-c)=0, ,
代入原方程得.
经检验,得 是原方程的包络.
4、
解:对c求导,得 -2(x-c)=4, c=x+2,
代入原方程得 ,,
经检验,得是原方程的包络.
(三) 求一曲线,使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.
解:设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系,则曲线上任一点(x,y(x))的切线方程为,
它与X轴、Y轴的截距分别为,,
按条件有 ,化简得,
这是克莱洛方程,它的通解为一族直线,
它的包络是,
消去c后得我们所求的曲线.
(四) 试证:就克莱洛方程来说,p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络,从而为方程的奇解.
证:克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法,
从 中消去p后而得的曲线;
c-判别曲线就是用c-消去法,从通解及它对求导的所得的方程
中消去c而得的曲线,
显然它们的结果是一致的,是一单因式,
因此p-判别曲线是通解的包络,也是方程的通解.
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