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机械振动基础 Mechanical Vibrations 二零零七年十月 热能工程系 Ø 振幅与相位 l 初始条件 l 系统参数 Ø 常力不影响系统的固有频率 Ø 简谐振动 Ø 固有频率 l 固有圆频率 l 周期 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 Ø 临界阻尼系数 Ø 阻尼因子 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 Ø 振动方程 Ø 振动特性 4.1 数学基础 (自学) 4.2 单自由度系统 4.3 二自由度系统 4.4 多自由度系统 第4章 受迫振动 Ø 二阶非齐次常系数线 性微分方程的解 Ø 二阶非齐次常系数线 性微分方程组的解 Ø 拉普拉斯变换 数学基础(自学) 强迫振动 •系统在持续的随时间变化的激励力或激励位移、激励速度作用下所发 生的振动。 强迫振动的研究对象： • 瞬态响应(transient response) •稳态响应(steady-state response) •强迫振动主要研究系统的稳态响应，特别是当激励的频率与系统的固 有频率相等时出现的“共振” (resonance) 现象。 自由振动的瞬态响应与简谐激励的稳态响应 简谐激励下的响应 系统模型： k c 简谐力 为激励频率，系统的运动微分方程为： 这一二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为： Φ是位移xp(t)与激励力F (t) 之间的相位差 m F0 sinωt 齐次方程通解 特解 x 简谐激励下的响应-稳态解 { 注意：式中的积分常数A、B虽仍由初始条件决定，但在有阻尼的情 况下不能按自由振动条件得到的积分常数直接代入。因为在强迫振 动的情况下，即使初始位移和初始速度均为零，在响应中仍包含有 瞬态部分，因此积分常数必须与稳态解一起考虑。 简谐激励下的响应-稳态解 幅频特性和相频特性 简谐激励下的响应 振幅达到最大值的位置： 应该注意，这里的相位差是表示响应滞后于激励的相位角，不应与 式中的初相位相混淆。是表示系统自由振动在时的初相位，它取决 于初始位移与初始速度的相对大小，而是反映响应相对于激励力的 滞后效应，是由系统本身具有阻尼引起的，这是两者主要区别。 受迫振动峰值并不出现 在阻尼系统的固有频率处， 峰值频率略向左偏移， 若 时，有 相位特性和振幅一样，相位也 仅为r的函数。 简谐激励下的响应 1.0 2 .0 3.0 180° 150° 120° 90° 60° 30° 4.0 3.0 2.0 1.0 0 特性曲线 1.0 2.0 3.0 阻尼控制区 0 (1)当频率比r很小(r《1)， 即激励频率ω远小于系统的 固有频率ωn时，无论阻尼 的大小如何，动力放大系数 μ→ 1，X→F0/K,即振幅近 似地等于激励力幅值Fo作用 下的静位移,这个区域内振 幅x主要由弹簧常数K控制， 故称为“弹性控制区”，此 时 φ=0。 4.0 3.0 2.0 1.0 0 幅频特性(1) -弹性控制区 1.0 2.0 3.0 (2)当频率比r很大，即激励 频率ω远大于系统的固有频 率ωn时，无论阻尼的大小 如何，动力放大系数 μ→0， X→F0/kr2=F0/mw2,即振幅的 大小主要决定于系统的惯性。 故称为“惯性控制区”，此 时φ=180度。 弹性控制 区 幅频特性(2) -惯性控制区 0 1.0 2.0 3.0 4.0 3.0 2.0 1.0 (a)当r=1共振时，不管系统的阻尼 如何，响应总是滞后于激励90。 (b) ζ=0，当r＜1时，响应与激励同 相位，即φ=o；当r＞1时，则相位相 反，即 φ= 180，相位在共振点前后 发生突变。 (c)若ζ0，则φ随r的增大而逐渐 增大，不会发生突变，但在共振点( 即r＝1处)，特别当 ζ较小时，相位 角 φ变化较大。 注：在振动测试过程中，常应用共振 点前后相位角有较大变化的现象来确 定系统的共振点。 180° 150° 120° 90° 60° 30° 0 相频特性 1.0 2.0 3.0 0 3.0 1 .0 2. 4.0 3.0 2.0 1.0 0 最大幅值并不发生在r=1。 幅频特性-最大幅值 阻尼控制区 力矢量图 简谐激励的响应-复数表示 当 (刚度控制区) 简谐激励的响应-复数表示 力矢量图分析: ) 简谐激励的响应-复数表示 (阻尼控制区) (惯性控制区 图示系统中， ，， 求(1) 统的稳态响应 (2) (3) 解 建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广 义坐标x