根与系数关系.docx

PAGE PAGE 1 / 10 PAGE PAGE 10 / 10 对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0 时，则两根的关系为：；，∵方程（2）没有实数根， 对于一元二次方程 ，当判别式△＝ 时，其求根公式为： ；若两根为 ，当△≥0 时，则两根的关系为： ； ， ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得 ； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的 的取值范围 是 其中， 的整数值有 或 当 时，方程（1）为 ，无整数根； 当 时，方程（1）为 ，有整数根。 根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广 根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当 ， 时，那么 则是 的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广 理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程 根的判别式 存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程 的两个根 ， 进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分 进而分解因式，即 。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分 例 例 1：已知关于 的方程（1） 有两个不相等的实数根，且关于 的方程 （2）没有实数根，问 取什么整数时，方程（1）有整数解？∴解得；分析：在同时满足方程（1），（2）条件的 的取值范围中筛选符合条件的 的整数值。解 （2） 没有实数根，问 取什么整数时，方程（1）有整数解？ ∴ 解得； 求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或 的 解得：所以，使方程（1）有整数根的 的整数值是。解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础， 解得： 所以，使方程（1）有整数根的 的整数值是 。 解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 例 1：不解方程，判别方程两根的符号。 例 1：不解方程，判别方程 两根的符号。 分析：对于 来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此 正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或 的正负情况。 解：∵ ，∴△＝ —4×2×(—7)＝65＞0 设方程的两个根为， ∵＜0说明： 设方程的两个根为 ， ∵ ＜0 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若 ， 则方程有一正一负根； (2) 若 ， ， 则方程有两个正根； (3) 若 ，，则方程有两个负根．例 ， ，则方程有两个负根． 例 2：已知方程 的一个根为 2，求另一个根及 的值。 解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为 解得 当 时，原方程均可化为： ， 解 得： ∴方程 的另一个根为 4， 的值为 3 或—1。 解法二：设方程的另一个根为 ，根据题意，利用韦达定理得： ， 则 ， 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出 的值，再通解法一：把 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把 代入原方程，先求出 的值，再通 解法一：把 代入原方程，得： 即 ∵ ，∴把 代入 ，可得： ∴把 即 ∴方程 代入 解得 ，可得： ， 的另一个根为 4， 的值为 3 或—1。 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。 例 3：已知方程 例 3：已知方程 有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21， 解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得 ≤0设方程两根为分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于 的方 解：∵方程有两个实数根， ∴△ 解这个不等式，得 ≤0 设方程两根为 ∵∴∴整理得：解得：假设 、同号，则有两种可能：（1） ∵ ∴ ∴ 整理得： 解得： 假设 、 同号，则有两种可能： （1） （2） 若 ， 则有： ； 又∵，∴说明：当 又∵ ，∴ 说明：当求出 后，还需注意隐含条件 ，应舍去不合题意的 。 例 5：已知 、 是关于 的一元二次方程的两个非零实数根 例 5：已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个非零实数根，问 和 解：因为关于 的一元二次方程 有两个非零实数根， ∴则有 ∴又∵ 、 是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得： ∴ 又∵ 、 是方程 的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系， 又∵，∴当时，两