离散数学及其应用 第二版 第三篇 代数系统.pptx

第3篇　代数系统 （Algebra System）  2数学的本质就在于一切能证明的都要 证明。? ?G. Frege没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。 Carus Paul 第3篇 代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为“近世代数”或“抽象代数”。 第3篇 代数系统内容集合的概念1集合的表示方法2环与域3格与布尔代数4代数系统与性质1半群与群2 5（一个二元运算 ）两个运算有逆元两个运算有单位元代数系统结合律 半群 单位元、逆元 群?循环群?可换群?变换群?子群?循环半群?单元半群?可换半群??整环?域?商环?理想?有补格?有界格?布尔代数??????正规子群、商群特殊环特殊子环两个运算的单位元、逆元 （两个二元运算：?, )两个运算的结合律、交换律、吸收律 格 两个运算的分配律 分配格?单位元，无零因子 （两个二元运算：?, )?可换群, 半群, 对?分配群 环 交换律 可换环 单位元, 逆元交换律单位元生成元交换律生成元子集上的群特殊群特殊群 第5章 代数系统集合的概念1同态与同构3代数系统与子代数1运算性质与特殊元2 第5章 代数系统7特殊群6半群与含幺半群4群及其性质5陪集与拉格朗日定理7环与域8 本章学习要求重点掌握一般掌握了解 11 代数系统与子代数2 二元运算律3 特殊元4 同态与同构5 半群、群、子群及性质6 元素的周期及计算7 生成元与循环群8陪集与拉氏定理 3同态与同构的应用商群及性质21同类型代数系统2正规子群性质与同态核 代数运算定义5.1.1 设A是一个非空集合，f是从An(n?N+)到A的一个函数，则称f为A上的一个n元代数运算，简称为n元运算。即对任意的<x1,x2,…,xn>?An，都存在唯一的x?A，使得f(<x1,x2,…,xn>)=x。若f是A上的一个代数运算，也称A在运算f下是封闭的。称自然数集合N上的加法“+”为运算，这是因为给定两个自然数a, b, 由加法“+”，可以得到唯一的自然数c = a + b。 加法“+” 是映射吗？ N上的加法运算“+”本质上是一个N×N→N的映射 代数运算例5.1.1 设N+、Z、Q、R分别表示正整数集，整数集，有理数集和实数集，(1) 求一个数的相反数是Z、Q、R上的一元运算。(2) 普通加法和乘法都是N+上的二元运算，而减法和除法不是。因为1,2?N+，但1+2,1?2? N+。(3) 普通加法、减法和乘法都是R上的二元运算，而除法不是。因为0?R，但0不能做除数。(4) 求平方根是R+上的一元运算，但不是R上的一元运算。因为-4?R，但-4没有平方根。此外，9?R，但9有两个平方根?3。(5) 集合的并、交、相对补和对称差运算是A的幂集P(A)上的二元运算，而绝对补运算是P(A)上的一元运算。(6) 设Mn(R)表示n阶实矩阵集合(n?2)，则矩阵的加法和乘法是Mn(R)上的二元运算。(7) 设对任意<x,y,z>?R3，有f(<x,y,z>)=x，则f为R上的三元运算。10 代数运算通常用?，?，*，?，+，?等符号来表示n元运算，称为算符。如例5.1.1 (1)中N+上的取相反数运算可表示?x=-x，(2)中N+上的加法运算可记为?(x,y)=x+y或者x?y=x+y，(7)中R3上的运算f可记为?(x,y,z)=x。一个二元运算就是一个特殊的映射 ，采取中缀方法表示为 a ? b＝c 运算表有限集上的一元或二元运算有时也用运算表来表示。设A={a1,a2,…,an}，?为A上的一元运算，?为 上的二元运算，则?和?的运算表如下表所示。ai?（ai）a1a2……an?(a1)?(a2)……?(an)○　　a1 　a2 …… 　 ana1a2……ana1○a1 a1○a2 …… a1○ana2○a1 a2○a2 …… a2○an…… …… …… an○a1 an○a2 …… an○an 2023/10/21定义5.1.2 设A是非空集合，f1, f2, …, fm分别是定义在A上k1, k2,…, km元封闭运算，ki是正整数，i = 1, 2, …, m。称集合A和f1, f2, …, fm所组成的系统称为代数系统，简称代数，记为<A,f1, f2, …, fm >。当A是有限集合时，该代数系统称为