数理统计复习总结.docx

统计量与抽样分布 基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数 1 2 n 1 2 n总体X 的样本X ，X ，…，X ，则 T(X ，X ，…，X )即为统计量样本均值? ? X 1 2 n 1 2 n 样本方差S 2 n ? 1 ?n ( X n i i?1  2 X ) 2 1 ?n 2 修正样本方差S * n ? ( X n ?1 i i?1 X ) 样本 k 阶原点矩 A k ? 1 ?n n i?1 X k ,(k ? 1,2,...) i 样本 k 阶中心矩 B k ? 1 ?n ( X n i ni?1 n ? X )k ,(k ? 1,2,...) 经验分布函数 F n (x) ? n , (?? ? x ? ??) 其中V v ( v (x) (x)表示随机事件{X ? x} 出现的次数, 显然V n (x) ~ B(n, F (x)) ,则有 E[F n (x)] ? F (x) D[F n (x)] ? 1 F (x)[1? F (x)] n 补充：  n ?1 ES 2 n ? DX ES *2 n n ? DX EX 2 ? DX ? (EX )2 S 2 n ? 1 ?n n i?1  X 2 ? X 2 i 二项分布 B(n,p): P{X ? k} ? Ck pk (1 ? p)n?k , (k ? 0,1,..., n) n EX=np DX=np(1-p) 泊松分布 P(? ) : P{X ? k} ? ? k k!  e??,(k ? 0,1,...) EX ? ? DX ? ? 均匀分布 U(a,b): f (x) ? 1 , (a ? x ? b) b ? a EX ? a ? b 1 DX ? 2 12 (b ? a)2 指数分布: 1EX ? 1 ? f (x) ? ? e??x ,( x ? 0) ? F (x) ? 1 ? e??x ,( x ? 0) 1DX ? 1 ? 2 正态分布 N (?,? 2 ) : f (x) ? 1 (x ? ?)2 2??exp{ ? } EX ? ? DX ? ? 2 2?? 2? 2 nS 2 n ?1 nS 2 2(n ?1) E( n ) ? n ?1 ? ES 2 ? ? 2 D( n ) ? 2(n ?1) ? DS 2 ? ? 4 2 2? 2 2 2 n ? 2 n n2 当? ? 0 时， EX ? 0 EX 2 ? ? 2 EX 4 ? 3? 4 E X ? ? ? D X ? (1? ? )? 2 统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族 T 是θ的充分统计量? f (x , x 1 2 ,..., x n T ? t) 与θ无关 T 是θ的完备统计量? 要使 E[g(T)]=0,必有 g(T)=0 L(? ) ? ?n f (x ;?) ? h(x , x  ,..., x  )g(T (x , x ,..., x );?) 且h 非负? T 是θ的充分统计量 i i?1 1 2 n 1 2 n ?n i?1 f (x ;?) ? C(? ) exp{b(? )T (x , x ,..., x )}h(x , x ,..., x ) ? T 是θ的充分完备统计量 i 1 2 n 1 2 n ?n f (x ;?) ? C(? ) exp{b (? )T (x , x ,..., x ) ? b (? )T  (x , x  ,..., x  )}h(x , x  ,..., x ) i?1 i 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n 1 2 n ? (T ,T ) 是? ? (? ,? ) 的充分完备统计量 1 2 1 2 抽样分布： ? 2 分布，t 分布，F 分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正 态总体样本均值的分布 1 ? x  n ?1 ? 2 分布： ? 2 ? X 2 ? X 2 ? ... ? X 2 ~ ? 2 (n) f (x) ? e 2 x 2 (x ? 0) 1 2 n 2 n ?( n ) 22 2 E? 2 ? n D? 2 ? 2n Y / nT 分布：T ? Y / n ~ t(n) 当 n2 时，ET=0 DT ? n n ? 2 F 分布： F ? ~ F (n , n ) 1 ? F (n , n ) Xn1Yn X n 1 Y n 2 补充： Z=X+Y 的概率密度 f ? ??? f (x, z ? x)dx ???? f (z ? y, y)dy f(x,y)是 X 和 Y 的联 z ?? ?? 合概率