海伦公式的几种证明.docx

海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： a设△ABC 中，a、b、c 分别为角A、B、C 的对边，h 为a 边上的高，R、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，p = 1 (a+b+c),则 a 2 S = 1 ah = 1 ab×sinC = r p △ABC 2 a 2 = 2R2sinAsinBsinC = abc 4R = = p( p ? a)( p ? b)( p ? c) △其中，S ABC = p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 △ 海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、 海伦公式的变形 S= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) = 1 (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? c ? b)(b ? c ? a) ① 4 = 1 [(a ? b)2 ? c 2 ][c 2 ? (a ? b)2 ] ② 4 = 1 (a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab)[?(a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab)] ③ 4 = 1 4a 2b 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )2 ④ 4 = 1 2a 2b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b4 ? c 4 ⑤ 4 二、 海伦公式的证明 证明：如图h 证明：如图h ⊥BC，根据勾股定理，得: a 第 1 页 共 6 页 分析：先从三角形最基本的计算公式 S 海伦公式。  △ABC  = 1 ah 2 a  入手，运用勾股定理推导出 第 PAGE 第 PAGE 2 页 共 6 页 ? x ? a ? y ? ?h 2 ? a ?h 2 ? a ? b 2 ? c 2 y 2 x 2 x = a 2 ? c 2 ? b 2 y = a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2a h=a b2 h = ? y 2 =  b2 ? (a 2 c 2 ? b2 )2 = 4a 2b2 ? (a 2 c 2 ? b2 )2 ∴ S = 1 ah  = 1 a× 4a 2 2a 4a 2b2 ? (a 2 ? c 2 ? b2 )2 = 1 △ABC 2 a 2 2a 4 4a 2b 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )2 S此时 为变形④，故得证。 S △ABC 证二：斯氏定理 h分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出 。 h a 证明：由证一可知，u = a 2 ? b 2 ? c 2 2a v = a 2 ? b 2 ? c 2 2a ∴ h 2 = t 2 = b 2 a 2 ? b 4 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? c 2 b 2 ? c 4 － a 4 ? (b 2 ? c 2 )2 a S∴ S △ABC  = 1 ah 2 a  = 1 a × 2 2a 2 4a 2 2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 2a 斯氏定理:△ABC 边 BC 上任取一点 D，若 BD=u，DC=v,AD=t. 则t 2 =b 2 u ? cv 2auv= 1 2a 2b 2 ? 2a 2 斯氏定理:△ABC 边 BC 上任取一点 D， 若 BD=u，DC=v,AD=t. 则 t 2 = b 2 u ? cv 2 a uv 4 S此时为 的变形⑤，故得证。 S △ABC 证三：余弦定理 14[(a ? b)2 ? c 1 4 [(a ? b)2 ? c 2 ][c 2 ? (a ? b)2 ]  可 知 ， 运 用 余 弦 定 理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明 S = 1 [(a ? b)2 ? c 2 ][c 2 ? (a ? b)2 ] 4 则要证 S = 1 [(a ? b)2 ? (a 2 ? b2 ? 2ab cos C)2 ][(a 2 ? b 2 ? 2ab cos C)2 ? (a ? b)2 ] 4 = 1 (2ab ? 2ab cos C)(2ab ? 2ab cos C) 4 = 1 ab×sinC 2 此时 S = 1 ab×sinC 为三角形计算公式，故得证。 2 证四：恒等式 ABC分析：考虑运用 S =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角 ABC △ 函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg A · tg B + tg A · tg C + tg B · tg C = 1 2 2 2 2 2 2 根据恒等式，得： 11