算法案例教案.docx

课题：§1．3 算法案例 第 1 课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 一、教学目标： 根据课标要求：在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框 图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力。制定以下三维目标： 1、知识与技能 理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2、过程与方法： 引导学生得出自己设计的算法程序. 3、情感态度与价值观： 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 二、重点与难点： 重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 解决策略：通过分析解决具体问题的算法步骤来引导学生写出算法，根据算法画出程序框图，再根据框图用规范的语言写出程序。 难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 解决策略：让学生能严谨地按照自己是程序框图写出程序。 三、学法与教学用具： 1、学法：直观感知、操作确认。 2、教学用具：多媒体。 四、教学过程 （一）引入课题 大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球， 东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小 学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一 直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大 时（如 8 251 与 6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异. （二）研探新知 怎样用短除法求最大公约数？ 怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？ 怎样用辗转相除法求最大公约数？ 怎样用更相减损术求最大公约数？ 讨论结果： 短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 穷举法（也叫枚举法） 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数. 辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，求余数r：计算m 除以n，将所得余数存放到变量r 中. 第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r. 第四步，判断余数r 是否为 0.若余数为 0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行. 如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的， 因而又叫欧几里得算法. 更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之， 不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现 代语言如下： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2 约简；若不是，执行第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数， 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. （三）范例分析 例 1 用辗转相除法求 8 251 与 6 105 的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序. 解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146. 由此可得，6 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 与 6 105 的公约数，反过来，8 251 与 6 105 的公约数也是 6 105 与 2 146 的公约数，所以它们的最大公约数相等. 对 6 105 与 2 146 重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813. 同理，2 146 与 1 813 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数.继续重复上述步骤： 2 146=1 813×1+333， 1 813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4. 最后的除数 37 是 148 和 37 的最大公约数，也就是 8 251 与 6 105 的最大公约数. 这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数. 算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下： 第一步，