第十六章二次根式知识点总结大全.docx

二次根式 【知识回顾】 a二次根式：式子 （ a ≥0）叫做二次根式。 a 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 二次根式的性质： a 2a （ a a 2 a（1）（ a ）2= a （ a ≥0）； （2） ? a ? 0 （ a =0）； ? a （ a ＜0） 二次根式的运算： 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术 平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式， 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． baba二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商） b a b a abab= · （a≥0，b≥0）； ab a b ? （b≥0，a0）． 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、 概念与性质 例 1、下列各式 15a2 1 5 a2 ? 2a ?1 , 2) ?5,3) ? x2 ? 2, 4) 4,5) (? )2 ,6) 1 ? a ,7) 1） 3 ， 其中是二次根式的是 （填序号）． 例 2、求下列二次根式中字母的取值范围 x ? 53 ? x ? 5 3 ? x (x - 2)2 （1） ；（2） 例 3、 在根式 1) a2 ? b2 ;2) ;3) x2 ? xy;4) 27abcx5 ， 27abc x 最简二次根式是（ ）A．1)2) B．3)4) C．1)3) D．1)4) 1?8xy ? ? 8x ?1 ? 1 ,求代数式x ? 1?8x y ? 2 ? x ? y ? 2的值。 例 4、已知： 例 5、已知数 a，b，若 2 y x y x (a ? b)2 (a ? b)2 ab B.ab C.a≥b D.a≤b 2、二次根式的化简与计算 例 3、计算：例 2. 把（a－ 例 3、计算： 1 例 1. 将根号外的 a 移到根号内，得 例 1. 将 根号外的 a 移到根号内，得 ( ) A. ； B. － ； C. － ； D. 55例 4、先化简，再求值： 5 5 1 ? 1 ? b ? 1 ?1 a ? b b a(a ? b) ，其中 a= 2 ，b= ． 2 a2?b2?(a ? a2 ? b2 ? (a ? b)2 4、比较数值 bab、根式变形法 b a b a当 a ? 0,b ? 0 时，①如果a ? b ，则 a ? ；②如果a ? b ，则 ? 。 53例1、 比较3 与5 5 3 的大小。 、平方法 当 a ? 0,b ? 0 时，①如果a2 ? b2 ，则 a ? b ；②如果a2 ? b2 ，则 a ? b 。 23例 2、比较3 与 2 的大小。 2 3 、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例 3、比较 2 1 3 ? 3 ?1 2 ?1 、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 4、比较 ? 与 ? 的大小。 15 14 14 13 、倒数法 例 5、比较 7 6 与 6 5 的大小。 、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ① a b 0 a b ；② a b 0 a b 例 6、比较 2 1 2 与 的大小。 3 1 3 5 、规律性问题 ， 验证：； ， 验证： ； 验证:.按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 的变形结果，并进行验证； 验证: . 15 针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且 n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例 3、已知 ab0 ，a+b=6 ab ，则 a b 的值为（ ） a b 2 1 A ． B ．2 C． 2 D ． 例 4、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：2 例 4、甲、乙两个同学化简 时，分别作了如下变形： == = = ； 乙：=。其中（ ）A 乙： = 。 C. 只有甲正确 甲、乙都不正确 D. 只有乙正确 【基础训练】 【基础训练】 721．化简：（1） 72 ??????；（2） ? 252 ? 252 ? 242 6 ?12 ?18 ????_； （4） 75x3 y2 (x ? 0, y ? 0) ????_； 4。（5） 20 ? ? 4 。 ??4?