答案应用随机过程a.docx

山东财政学院 2009—2010 学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为 120 分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07 级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题 2 分，共 10 分，正确划√，错误划ⅹ） 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 若状态 i 有周期 d, 则对任意n ? 1, 一定有： p ( nd ) ? 0 。（ⅹ ） ii 二． 填空题（每小题 5 分，共 10 分） 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为 10000 元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000 元＿＿＿。 若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（ 2）每行元素之和为 1。 三． 简答题（每小题 5 分，共 10 分） 简述马氏链的遍历性。 答：设 p(n) 是齐次马氏链?X ij  , n ? 1?的n 步转移概率，，如果对任意 i, j ? I 存在不 n 依赖于i 的极限 p(n) ? p ij j ?0 ，则称齐次马氏链?X , n ? 1?具有遍历性。 n 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？ 答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度? 不再是常数，而是与t 有关， 也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故 障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共 70 分） 请写出 C—K 方程，并证明之. （10 分） 解： 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15 分） i解：若?N (t), t ? 0?是一个泊松过程，是Y i , i ? 1,2,? 一族独立同分布的随机变量，并且 与?X (t), t ? 0?也是独立的， X (t) ?Nt Y =i = i?1  ，那么 ?X (t), t ? 0?  复合泊松过程 顾客以泊松过程到达某商店，速率为? ? 4人小时 ，已知商店上午 9：00 开门，求到 9：30 时仅到一位顾客，而到 11：30 时总计已达 5 位顾客的概率。（10 分） 设?X , n ? 1?是一马氏链， I ? ?0,1,2?， n 0? 3 1 ? 0 ? 4 4 ? ?1 1 1 ?  ? ? 1 P ? ? ? 4 ?? 0 ? ? ? ，初始分布 p 2 4 ??i 3 1 ? 4 4 ?? (0) ? p X ? i 0 ? , i ? 0,1,2. 3 试求（1） p?X 0 ? 0, X 2 ? 1?（7 分） （2） p?X ? 1?（8 分） 2 解：（1） p?X 0 ? 0, X 2 ? 1?? p?X 0 ? 0?p?X 2 ? 1 X 0 ? 0?? p 0 (0) p ( 2) 01 ? 5 5 1 ? ? 8 16 16 ? ? 5 1 3 ? 由于 P (2) ? P 2 ? PP ? ? ? 可知， p (2) 01 ?16 2 16 ? ? 3 5 1 ? ??16 16 4 ?? ? 5 ，于是， 16 p?X ? 0, X ? 1?? p?X ? 0?p?X ? 1 X ? 0?? p (0) p (2) ? 1 ? 5 ? 5 0 2 0 2 0 0 01 3 16 48 （2）由全概率公式， p?X 2 ? 1?= p?X 0 ? 0?p?X 2 ? 1X 0 ? 0? p?X 0 ? 1?p?X 2 ? 1 X 0 ? 1? +p?X ? 2?p?X ? 1 X ? 2? + + 0 2 0 = p (0) p( 2) 0 01 + p (0) p ( 2) + p 1 11 2 (0) p ( 2) = 21 1 5 1 9 11 3（ + + ）= 3 16 2 16 24 设?X , n ? 1?是一随机游动， I ? ?0,1,2? , j,? ?，转移概率为： n ? p ? 0,0 ? p ? q, p ? q ? 1 ? p, j ? 0,1,2,? p? j , j ?1 p ? j , j ?1 ? q, j ? 1,2,3,? 画出转移概率图，写出一步转移概率阵. （5 分） 说明这是何种类型的随机游动（有无反射壁或吸收壁？哪几个状态是？）（5 分） (3) 求其平稳分布 ? , j ? 0,1,2,? （10 分 ） j 解