等腰三角形三线合一性质应用.docx

等腰三角形专题基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边 常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题： ①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角 找点问题 例 1：如图，有直线m, n ，m, n 之间的间距为2cm ，在n 上取 AB ? 3cm ，在m 上取点 p ， 使得?PAB 为等腰三角形，则满足条件的点 p 有几个？ m n ? ? A B 变式 1：若取 AB ? 2cm ，则点 p 有几个？ 变式 2：如图，在Rt?ABC 中，?ABC ? 90?，?BAC ? 30?，在直线BC或AC上取一点 P ，使得?PAB 为等腰三角形，则符合条件的点 p 有几个？ 2、三线合一的性质应用（知二即知三） 应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系 例 1：已知：如图，在?ABC 中， AB ? AC ，BD ? AD 于 D ，求证：?BAC ? 2?DBC . 例 2：△ ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，若 D 为 BC 的中点，过 D 作 DM ⊥DN 分别交 AB、AC 于 M、N，求证：DM＝DN. 变式 1：若 DM⊥DN 分别和 BA、AC 延长线交于M、N。问 DM 和 DN 有何数量关系。 变式 2：如图，在?ABC 中， ?A ? 90? ， AB ? AC ， D 是 BC 的中点， P 为 BC 上任一点，作 PE ? AB ，PF ? AC ，垂足分别为 E、F ，求证：（1）DE ? DF ；（2）DE ? DF 应用二：证垂直平分 例 3：已知，如图，AD 是?ABC 的角平分线，DE、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。求证： AD 垂直平分 EF . 例 4：已知四边形 ABCD 中， ?ACB ? ?ADB ? 90? ， M、N 分别为 AB、CD 的中点， 求证： MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 例 5：如图，D、E 分别是 AB、AC 的中点，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，求证：AC=AB. 例 6：已知，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD,D 为垂足，ABAC。求证：∠2=∠1+∠B 例 7：已知，△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DE∥AC 、DF∥AB 分别与 AB、AC 相交于点E，F。求证：DE=DF