高一数列通项公式常见求法.docx

数 列 通 项 公 式 的 常 见 求 法 一、公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接 利用等差或等比数列的公式 来求通项，只需求得首项及公差公比。1、等差数列公式 例 1、已知等差数列{a }满足 a =0，a +a =-10，求数列{a }的通项公 n 2 6 8 n 式。 解：（I）设等差数列{a n } 的公差为d，由已知条件可得 ?a ? d ? 0, 解得?a ? 1, ? 1 ? 1 ?2a ? 12d ? ?10, ? 1 ?d ? ?1. 故数列{a n } 的通项公式为a n ? 2 ? n. 2、等比数列公式 例 2、设{a n 项公式。 }是公比为正数的等比数列，a 1 ? 2 ，a 3 ? a ? 4 ，求{a 2 n }的通 解：设 q 为等比数列{a n } 的公比，则由a 1 ? 2, a 3 ? a ? 4得2q2 ? 2q ? 4 ， 2 即q2 ? q ? 2 ? 0 ，解得q ? 2或q ? ?1（舍去），因此q ? 2. 所以{a n } 的通项为a n ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ). 3、通用公式 若已知数列的前 n 项和S n 式  的表达式，求数列?a n  ?的通项a n  可用公 ??S ? a ? n ? ? ? ? n ? 1 求解。一般先求出a ? S ，若计算出的a 中当n=1 ?n S ? n S n?1 ? n ? 2 1 1 n 适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例 3、已知数列{a n }的前n 项和S n ? n2 ?1，求{a n }的通项公式。 解： a 1 ? s ? 0 ，当n ? 2 时 1 由于a 1 不适合于此等式 。 ∴ a ? n ?0 ??2n ?1 ? (n ? 1) (n ? 2) n二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：a 和a 的 n n?1 关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法： 1、累加法 一 般 地 ， 对 于 形 如 a  n?1  ? a ? f (n) 类 型 的 通 项 公 式 ， 且 n f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 的和比较好求，我们可以采用此方法来求an 。 即： a n ? (a n a n?1 ) ? (a  n?1 a n?2 ) ?L ? (a n2 n a ) ?a 1 1 (n ? 2) 。 n例 4、数列?a n ? ? b的首项为3 ， n b ?为等差数列且b ? a n?1 ? a (n ? N*) ．若 则，nb ? ?2 b 则 ， n 3 10 ? 12 ，则a ? 8A．0 B．3 C．8 D．11 8 解：由已知知b ? 2n ? 8, a a n?1 n ? 2n ? 8, 由累加法 n例 5、 已知数列?a ?满足a n ? 1 , a ? a ? 1 ，求数列?a ?的通项公 n 1 2 式。 n ? 1 n n2 ? n n 解：由题知： a a ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 n ? 1 n n2 ? n n(n ?1) n n ?1 2、累乘法 一般地对于形如“已知a ，且an?1 ? f (n) （ f (n) 为可求积的数列）”的形 1 a n a式可通过累乘法求数列的通项公式。即：a a ? n ? a n ?1 ?L ? 2 ? a (n ? 2) ； an a a n ?1 a a 1 n ? 2 1 n例 6、在数列｛ a ｝中， a n 1 =1, (n+1)· a n?1 =n· an ，求an 的表 达式。 解：由(n+1)· a =n· an 得 n?1 ? ， an a n n?1 a n ? 1 n =a a a = n 2 3 a a = 1 ? 2 ? 3 ? n ? 1 ? 1 所以a ? 1 …4 na a · a · … 4 n 1 1 2 3 a n?1 2 3 4 n n n n 3、构造法 当数列前一项和后一项即an 和a 的递推关系较为复杂时，我们 n ?1 往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。 n?1 n 1待定系数法：形如a ? ca ? d , (c ? 0 ,其中a ? n?1 n 1 n若c=1 时，数列{ a }为等差数列; n n若d=0 时，数列{ a }为等比数列; n n若c ? 1且d ? 0 时，数列{ a