等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明.docx

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高证明 例一： 如图所示,已知△ABC 中,AB=AC=8,P 是BC 上任意一点,PD⊥AB 于点D，PE⊥AC 点 E，若△ABC 的面积为 14。问：PD+PE 的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定， 请说明理由。 解：三角形ABC 的面积为 14，所以PD+PE 的值为定值。由已知：AB=AC=8，S(△ABC)=14，得 S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=14 1/2*8*(PD+PE)=14 PD+PE=14/4=3.5 即 PD+PE=3.5 这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。结论虽简单，我们又应当如何证明呢？ 关于这道题的证明方法有很多种。 求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。 已知：等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，BC 上任意点 D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC 求证： DE＋DF＝BH 证法一： 连接 AD 则△ABC 的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2 而△ABC 的面积＝BH*AC/2 所以：DE＋DF＝BH 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高证法二： 作 DG⊥BH，垂足为 G 因为 DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC 所以四边形 DGHF 是矩形 所以 GH＝DF 因为 AB＝AC 所以∠EBD＝∠C 因为 GD//AC 所以∠GDB＝∠C 所以∠EBD＝∠GDB 又因为 BD＝BD 所以△BDE≌△DBG（ASA） 所以 DE＝BG 所以 DE＋DF＝BG＋GH＝BH 证法三： 提示： 过 B 作直线 DF 的垂线，垂足为 M 运用全等三角形同样可证 另外运用三角函数也能进行证明 如果 D 在 BC 或 CB 的延长线上，有下列结论：|DE－DF|＝BH 问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。 如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的 如图，已知等边三角形 ABC 和点 P，设点 P 到三角形 ABC 三边 AB\AC\BC(或其延长线）的距离分别为 h1、h2、h3，三角形 ABC 的高为 h。 解答提示： 如图，过 P 作 BC 的平行线交 AB、AC 的延长线于 G、H，作 HQ⊥AG 先证明 PD＋PE＝HQ （见：） 而 HQ＝AN，FP＝MN 所以 PD＋PE－PF ＝AN－PF ＝AM＋MN－PF ＝AM 即 h1＋h2－h3＝h 另外一个变式问题： 已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D、P 分别在边 AC、AB 上，且 BD=AD， PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点 E、F。 当∠A＝30°时，求证：PE+PF＝BC 当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确， 请加以证明：如果不正确，请说明理由。 腰长 5 厘米 底边长 6 厘米 p 是底边任意一点 pd 垂直于 ab pe 垂直于 ac 垂足为 d e pd+pe= 解： 作底边 BC 上的高 AM，设腰上的高＝h，连接 PA 因为 AB＝AC＝5，BC＝6 所以 BM＝CM＝3 所以根据勾股定理得 AM＝4 因为 S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12 所以 h＝24/5 因为 S△ABC＝S△ABP＋S△ACP ＝AB*PD/2＋AC*PE/2 所以 5*PD/2＋5*PE/2＝12 所以 PD＋PE＝24/5 如图，点P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC 分别为 8 和 15，求点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和。 解： 设 AC、BD 交于 O，作 AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接 OP 因为 AB＝8，BC＝AD＝15 所以根据勾股定理得 BD＝17 因为 S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2 所以可得 AE＝120/17 因为四边形 ABCD 是矩形所以 OA＝OD 因为 S△OAD＝S△OPA＋S△OPD ＝OA*PM/2＋OD*PN/2 ＝（PM＋PN）*OD/2 S△OAD＝AE*OD/2 所以 PM＋PN＝AE＝120/17