等时圆模型分析和总结.docx

PAGE PAGE 1 一、何谓“ 一、何谓“等时圆” A 例 1：如图 3，通过空间任一点A 例：如图1 所示，ad、bd、cd 可作无限多个斜面，若将若干个小物 是竖直面内三根固定的光滑细杆， 体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的 图 3 a、b、c、d 位于同一圆周上， a y 光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻 点为圆周的最高点， d 点为最低 这些小物体所在位置所构成的面是（ ） θ 点。每根杆上都套有一个小滑环 A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 mg （图中未画出），三个滑环分别从 x 图 1 答案：A 1、 可直接观察出的“等时圆” 1a、b、c 处释放（初速为 0），用 t 、 1 例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨 道与水平面相切于 M点，与竖直墙相切于点 A，竖 t 、t 依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（ ） 2 3 直墙上另一点 B与M的连线和水平面的夹角为 600，C A.t1t2t3 B.t1t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R，由牛顿第二定律 是圆环轨道的圆心， D是圆环上与 M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已 得， mg cos? ? ma ① 再由几何关系，细杆长度L ? 2R cos? ② 1 B 知在同一时刻： a、b两 球分别由 A、B两点从静 A 止开始沿光滑倾斜直轨 道运动到 M点； c球由C M CD设下滑时间为t ，则 L ? C D 2 at 2 ③ 点自由下落到 M点； d球 图 4 由以上三式得， t ? 2 R 可见下滑时间与细 g 杆倾角无关，所以D 正确。由此题我们可以得出一个结论。 结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 从D点静止出发沿圆环 推论：若将图 1 倒置成图 2a、b、c三个小球均匀加速直线运动， d球的运动可的形式，同样可以证明物体从最高等效成单摆运动，因 DM远小于CM，其运动等效为点由静止开始沿不同的光滑细杆简谐运动．到圆周上各点所用的时间相等。由牛顿第二定律和运动学公式得到 a、b、c三个球运动到M点。则：（ ） A、 推论：若将图 1 倒置成图 2 a、b、c三个小球均匀加速直线运动， d球的运动可 的形式，同样可以证明物体从最高 等效成单摆运动，因 DM远小于CM，其运动等效为 点由静止开始沿不同的光滑细杆 简谐运动． 到圆周上各点所用的时间相等。 由牛顿第二定律和运动学公式得到 a、b、c三个球 图 2 像这样的竖直圆我们简称为 “等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 二、“等时圆”的应用  运动时间与圆的半径的关系， 根据单摆的周期公式得到d球运动时间与圆的半径的关系，即可比较时 间长短． 答案： C 2、运用等效、类比自建 “等时圆” 例3：如图5所示，在同一竖直线上有 A、B两点，相距为h，B点离地高度为 H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点 P安放的光滑木板， Ah A h H O P aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从 a、b、c 处开始下滑 bOθ（忽略阻力），则 （ b O θ A、a 处小孩最先到O 点 别由A和B沿木板下滑到 P 点的时间相等，求 O、P两 B 点之间的距离 OP 。解析: 图 5 由“等时圆”特征可知，当 A、B 处于等时圆周上， 且 P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图所示，此时等时圆的半径为： c B、b 处小孩最后到 O 点 C、c 处小孩最先到 O 点 a D、a、c 处小孩同时到O 点 【解析】选D.三块滑板与圆柱形仓库构成的斜面底 边 长 度 均 为 圆 柱 形 仓 库 的 底 面 半 径 , 则 ,当 θ=45°时,t 最小, 当 θ=30°和 60°时,sin2θ 的值相同,故只有D 正确. 答案 D 练习 相切的圆上，且斜槽都通过切点 P.设有一重物先1．(单选)如图 6 所示，AB 和 CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和 相切的圆上，且斜槽都通过切点 P.设有一重物先 滑到 D ，所用的时间分别为t 和 t 滑到 D ，所用的时间分别为t 和 t ，则 t 与 t 之 1 2 1 2 所以 比为( )． 三、“形似质异”问题的区分1、还是如图 1 三、“形似质异”问题的区分 1、还是如图 1 的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为 μ，小滑环分别从 a、b、c 处释放 （初速为 0）到达圆环底部的时间还等不等？ 解析