导数中含参数单调性及取值范围.docx

应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点 ;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题. 含参数函数求单调性（ 一． 求可导函数单调区间的一般步骤和方 法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于 0,解得增区间, 令导数小于 0,解得减区间.） 2ax ? a2 ? 1 例 1（2012 西 2）已知函数 f ( x) ? ，其中a ? R ． x2 ? 1 （Ⅰ）当 a ? 1 时，求曲线 y ? f (x) 在原点处的切线方程； （Ⅱ）求 f (x) 的单调区间． （ Ⅰ）解：当 a ? 1 时， f ( x) ? 2x x2 ? 1 ， f ?(x) ? ?2 (x ?1)(x ?1) (x2 ?1)2  ． 2 分 f ?(0) ? 2 由  ， 得曲线 y ? f (x) 2 x ? y ? 0 在原点处的切线方程是  ．… 3 分 （Ⅱ）解： f ?(x) ? ?2 (x ? a)(ax ?1) x2 ?1  ． 4 分 a ? 0 f ?(x) ? 2x ．所 f ( x) (0, ??) (??,0) ① 当 时， x2 ?1 以 在 单调递增，在 单调递减． 5 分 a ? 0 当 ，  f ?(x) ? ?2a (x ? a)(x ? 1 ) a x2 ?1 ． a ? 0 ② 当 时，令 f ?(x) ? 0 x ? ?a ，得 1 x ? f (x) 1， 2 a ， 与 1 f ?(x)  的情况如下： x x (??, x ) 1 x 1 (x , x ) 1 2 x2 f ?(x) ? 0 ? 0 (x , ? ?) 2 ? f (x) ↘ f (x ) 1 ↗ f (x ) 2 ↘ f (x) 故  的单调减区间是 (??, ?a) ( 1 , ??) ， a  ；单调增区间是 (?a 1 , )a , )  ． ………7 分 a ? 0 x(??, x x (??, x ) 2 x2 ? 0 (x , x ) 2 1 ? x 1 (x , ? ?) 1 f ?(x) 0 ? f (x) ↗ f (x ) 2 ↘ f (x ) 1 ↗ f (x) 与 f ?(x)  的情况如下： f (x) 所以  的单调增区间是 (?? 1 , )a , )  ；单调减区间是 (? 1 , ?a) a (?a, ??) ，  ． 9 分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， a ? 0  1时不合题意． 10 分 1 a ? 0 当 f 1 2  时， 由（ Ⅱ ） 得， f (x) 1 (0, ) 在 a  单调递增， 在 ( , ??) a  单调递减， 所以 f (x) (0, ??) 在  上存在最大值 ( ) ? a ? 0 a ． 1? a2 1 设 x 0为 f (x) x 的零点，易知 0 ? x ? 2a ，且 0 a ．从而 x ? x 0 时， f (x) ? 0 ； x ? x 0 时， f (x) ? 0 ． f (x) [0, ??) f (0) ? 0 ?1 ? a ? 1 若 在 上存在最小值，必有 ，解得 ． a ? 0 f (x) [0, ??) a (0,1] 所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 ．… 12 分 a ? 0 f (x) (0, ?a) (?a, ??) f (x) (0, ??) 当 时， 由（ Ⅱ ） 得， 在 单调递减， 在 单调递增， 所以 在 上存在最小值 f (?a) ? ?1 ． f (x) [0, ??) f (0) ? 0 a ? 1 a ? ?1 若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 ． a ? 0 f (x) [0, ??) a (??, ?1] 所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 ． a (??, ?1]U (0,1] 综上， 的取值范围是 ． 14 分 例 2 设函数 f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中 a ? -1，求 f(x)的单调区间. 【 解析】由已知得函数  f (x)  的定义域为 (?1,??) ，且 f (x) ? ax ?1 (a ? ?1), x ?1 （1）当?1 ? a ? 0 时， f ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在(?1,??) 上单调递减， 1 （2）当 a ? 0 时，由 f (x) ? 0, 解得 x ? . a f f (x) f (x) x