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导数知识点归纳及应用 知识点归纳一、相关概念 导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x  处有增量?x ，那么函数 y 相应地有增量?y =f（x 0 0  + ?x ） －f（x ），比值 ?y 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x 0 ?x 0 + ?x 之间的平均变化率，即 0 ?y = ?x f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ?x ) 。如果当 ?x ? 0 时， ?y ?x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 处 0 可导，并把这个极限叫做f（x）在点x 处的导数，记作f’（x 0 ）或 y’| 0 。 x? x0 即f（x ）= lim ?y =  lim f (x 0 ? ?x) ? f (x ) 。0 。 0 说明： ?x?0 ?x ?x?0 ?x 函数f（x）在点x 处可导，是指?x ? 0 时， ?y 有极限。如果?y 不存在极限， 就说函数在点x 0 处不可导，或说无导数。 0 ?x ?x ?x 是自变量 x 在 x 零。 处的改变量， ?x ? 0 时，而?y 是函数值的改变量，可以是 0 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x 处的导数的步骤： 0 ① 求函数的增量?y =f（x + ?x ）－f（x ）； 0 0 ② 求平均变化率?y = ?x f (x 0 ? ?x) ? f (x ) ；0 ； ?x ③ 取极限，得导数f’(x )= lim ?y 。 0 ?x?0 ?x 例：设f(x)= x|x|, 则 f′( 0)= . [解析]：∵ lim ?x?0 f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? lim ?x?0 f (?x) ?x ? lim ?x?0 | ?x | ?x ?x ? lim | ?x |? 0 ∴f′( 0)=0 ?x?0 导数的几何意义 函数 y=f（x）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x 0 0 ，f（x 0 ））处 的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x ，f（x 0 ） 处的切线的斜率是f’ 0 （x ） 。 0 相应地，切线方程为y－y =f/（x 0 ）（x－x ）。 0 0 例：在函数 y ? x3 ? 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 ? 的点中，坐标为整数的点的 4 ( ) [解析]：切线的斜率为k ? y / ? 3x 2 ? 8 又切线的倾斜角小于? 4 ，即0 ? k ? 1 故0 ? 3x 2 ? 8 ? 1 83解得： ? 3 ? x ? ? 8或 ? x ? 3 8 3 3 故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义 如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻 t 的瞬间速度v= s? （t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t），则该物体在时刻 t 的加速度 a=v′（t）。 例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ） s s s O t O B． O t O t C． D． 答：A。 练习：已知质点M 按规律s ? 2t 2 ? 3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。 （1）当t=2， ?t ? 0.01 时，求?s ； ?t （2）当t=2， ?t ? 0.001时，求?s ； ?t （3）求质点M 在t=2 时的瞬时速度。 答案：（1）8.02 cm s （2）8.002 cm s ；（3）8 cm s二、导数的运算 基本函数的导数公式: ① C? ? 0;（C 为常数） 1② ?xn ?? ? nxn? ; 1 ③(sin x)? ? cos x ; ④(cos x)? ? ?sin x ; ⑤(ex )? ? ex ; ⑥(ax )? ? ax ln a ; ⑦?ln x?? ? 1 ; x ⑧?l o g a x?? ? log e . x a 例 1 ： 下 列 求 导 运 算 正 确 的 是 ( ) A．(x+ 1 )? ? 1 ? 1  B．(log  x)′= 1 x x 2 2 x ln 2 C．(3x)′=3xlog e D． (x2cosx)′=-2xsinx 3 [解析]：A 错，∵(x+ 1 )? ? 1 ? 1 x x 2 B 正确，∵(log x)′= 1 2 x ln 2 C 错，∵(3x)′=3xln3 D 错，∵(x2cosx)′=2xcosx+ x2(-sinx) 例 2：设 f (x) ＝ sinx，f (x)＝f ′(x)，f (x)＝f ′(x)，…，f (x)