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导数问题中虚设零点的三大策略 导数在高中数学中可谓“神通广大”，是解决函数单调性、极值、最值、不等式证明等问题的“利器”.因而近几年来与导数有关的数学问题往往成为高考函数压轴题.在面对这些压轴题时，我们经常会碰到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题.此时， 我们不必正面强求，可以采用将这个零点只设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决.我们称这种解题方法为“虚设零点” 法.下面笔者就一些高考题，来说明导数问题中“虚设零点”法的具体解题方法和策略. 策略 1 整体代换将超越式化简为普通式 如果 f（′ x）是超越形式（对字母进行了有限次初等超越运算包括无理数次乘方、指数、 对数、三角、反三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式），并且f′（x）的零点是存在的，但我们无法求出其零点，这时采用虚设零点法，逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果.通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而将超越式化简为普通式，有效破解求解或推理证明中的难点. 例 1（2015 年全国高考新课标Ⅰ卷文 21）设函数f（x）=e2x-alnx. 讨论f（x）的导函数 f′（x）的零点的个数； 证明：当 a0 时，f（x）≥2a+aln2a. 解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f（′ x）=2e2x-ax（x0）.由 f（′ x）=0，得 2xe2x=a. 令 g（x）=2xe2x，g′（x）=（4x+2）e2x0（x0），从而g（x）在（0，+∞）单调递增， 所以 g（x）g（0）=0. 当 a0 时，方程 g（x）=a 有一个根，即 f′（x）存在唯一零点； 当 a≤0 时，方程 g（x）=a 没有根，即 f′（x）没有零点. （2）由（1），可设 f′（x）在（0，+∞）的唯一零点为 x0，当 x∈（0，x0）时，f′ （x）0； 巾干 2产 －“ ＝ 0 翡 产 ＝ 上 1]飞 ＝二 ．得 1n」ll —芍！ 2ax? J,. ·· o le 凸． — 札札 札- 札札 札 ln 2p , 2· In 一2  坏，，．所以．f( 义,,) 产 - nl n虹，n 乓 － 勹n: ： 一 ；；；； l2. ? ：）＋言 凶+ 心 1 :－ 至2 位X 2 吓 故当n 0 时从 叶 字 ，五 ＋ 2 c ln - . a 评析 本怼第 2 刮要让明f ( x ) 印 ” 2 2 如 ，只盂耍j, .u)mI II 至 2.a + al」1 5f (.r L,Ill A寸{ x) 的 岑点”取“到 但r u;）＝0 岊 超 越 J丁一涅，无法求出其综．1kii1 没有打接求跻；1· 几，而是在形式上 虚设 这祥处理的好处 小：于应 过对环沽足的等式 e玉． iii A丛”:I .“i  j lnnI  = l u - 2..r,l ,, 2 的合现代换使用 ，快还将 超越式产 －, ,.．如 I 1 化简为沿I 通 a 的气数式 沁 + 2r订11 + fll n —2 ．然后 使 用 均i廿不 等丈永 八i 出从小｛凡l叶时 泊 掉丁 心．在求解的过压申中不 见．告 讥：：：让 J可I 气而府核心喟哏丁．将钰越式化而为廿通旧代放式． 供瑚广( xr 1) !!! 0 作秘体代涣，宽 能 使大堑变通洼！ 其实嘈这种 儆法阜 巴出现在以下两迨试题中．我们·起来讳会一下如出一·撒 向 时 法带给我们的便捷 例2 Q O ]3 平全国高＝『斩课杯 ll 泰理 2 l ) 已知函妏 J( x ) 可 ?`- IIll( ， `· + m) （ l ) 设Jr 二 0 处f 伈 l 的极 伉点 勹 4k m 井讨论}{兄} 旧 单 词性； ( 2) 当m 王 2 时，＼正明.j0 ) 0. 第 { l. ) m !!!!!! ，l J（ ;t ) 培区间为( l i. + 2 } ．诚区间 为 ( - ] ,0 ). ( 21 当 儿 衾 2日，．；乍t 廿 m -t 甘 2 , In ( .t· + m } 乏 lEI( ，` + 2] ，－ ln{.4 + m) －li1,( 沁 + 2) 号 所以氧r { x ) 孕 矿 － lhl” ．？ ）司 令 .:r: ) = u - 1 I I 丘 ＋ 2}灿l g （北） ＝ c - —l — g”(x)＝ e.I t- （ ， + 2)2 冗 ＋ 2` :::,. 0 ．所以 41