等腰三角形典型例题.docx

（3）求证：．，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，（1）证明：和 （3）求证： ． ，则 ， 应该为一个等边三角形，可证明 ≌ ， （1）证明： 和 都是等边三角形， 【分析】（1）欲证 ，只需证明它所在的两个三角形全等．（2） 的度 数可用 的外角来求，但要注意全等所得到 这一条件的使用． （ 3）要 ， 即 ． 在 和 中， ， ， ， 从而得到 ． ≌ ， 1．如图，已知点C 为线段 AB 上一点，和都是等边三角形，AN、BM 相交（1）求证：．（2）求的度数．于点O， 1．如图，已知点C 为线段 AB 上一点， 和 都是等边三角形，AN、BM 相交 （1）求证： ． （2）求 的度数． ．≌，，．又， ． ≌ ， ， ． 又 ， ， （2）由（1）知，≌，．， （2）由（1）知， ≌ ， ． ， ． （3）在 和 中， 即，．【点拨 即 ， ． 要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等． 本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等． 2．如图，在中,，， 2．如图，在 中, ， ， 的平分线 AM 的 【分析】由 AM 平分，，可得，，．AM 平分 【分析】由 AM 平分 ， ，可得 ， ， ． AM 平分 ， 解：在 中， ， ， ， ， ． 在 中， ， 则 ，所以 ．在 中， ，可得 ， 由 ，可求出 BC 的长． 助线将证明 转化为证明 ． ．3．如图，，，，．求证： ． 3．如图， ， ， ， ．求证： ． 【分析】根据已知“ ， ”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅 ，．在和中，≌，，即．，．在和中，≌，证明：延长 CE ， ． 在 和 中， ≌ ， ，即 ． ， ． 在 和 中， ≌ ， ，．【点拨】 ， ． 利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系． 联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线． 4．如图，△ABC 中，AB=AC，在 AB 边上取点 D，在 AC 延长线上取点 4．如图，△ABC 中，AB=AC，在 AB 边上取点 D，在 AC 延长线上取点 E，使 求证：DG=GE． 证法 1：过D 作 DF∥AC，交 BC 于 F（如图 证法 1：过D 作 DF∥AC，交 BC 于 F（如图）． ∴∠DFB=∠ACB． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∴∠B=∠DFB． ∴DB=DF． ∵CE=BD(已知)， ∴DF=CE． 又∠DGF=∠CGE，∠GDF=∠E， ∴△DFG≌△ECG（AAS）． 证法 2：过 E 作 证法 2：过 E 作 EM∥AB 交 BC 延长线于M． ∴∠B=∠M． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． 又∠ACB=∠ECM， ∴∠M=∠ECM． ∴EC=EM． ∵CE=BD(已知)， ∴EM=BD． 在△BDG 与△MEG 中， ∴△BDG≌△MEG（AAS）． ∴DG=GE． 【点拨】 本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形 ABC 的底角相等并借助 BD=CE 条件，构造新的 等腰三角形来寻求结论． 本题在推证含DG、GE 为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的 地方，主要表现为把 BD=CE 这一条件直接作为三角形全等时的对应边． 5．已知：如图，△ABC 中，AB=AC 5．已知：如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种 （2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）． 【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以 36°，72°，108°等为内角的等腰三角形即可． 解：本题显然应有多种结果，现提供3 种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）； 【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果． 6．如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于为．将梯子顶端放于对面一堵墙上 R 点，离开地面的高度为 d，此时梯子与地面的夹角 6．如图，在一个宽度为 的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于 为 ．将梯子顶端放于对面一堵墙上 R 点，离开地面的高度为 d，此时梯子与地面的夹角 为．可知，为什么？又，为等边三角形，．在中，，，，，在线段 PQ 为 ．可知 ，为什么？ 又 ， 为等边三角形， ． 在 中， ， ， ， ， 在线段 PQ 的垂直平分线上， ． 在 中， ， ． 在 中， ， ， 【分析】由，，可知，又，可知为等边三角形，则