导数知识点总结及应用.docx

PAGE PAGE 1 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 函数的平均变化率：函数 f (x) 在区间[x , x  ] 上的平均变化率为：  f (x 2  ) ? f (x ) 1 。 1 2 x ? x 2 1 导数的定义：设函数 y ? f (x) 在区间 (a,b) 上有定义， x 0 ? (a, b) ，若?x 无限趋近于 0 时，比值 ?y f (x ? ?x) ? f (x ) ? 0 0 无限趋近于一个常数A，则称函数 f (x) 在 x ? x 处可导，并称该常数 A 为函数 f (x) 在 ?x ?x 0 x ? x 0 处的导数，记作 f ?(x 0 ) 。函数 f (x) 在 x ? x 0 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 求函数导数的基本步骤：（ 1）求函数的增量 ?y ? f (x 00 0 ? ?x) ? f (x 0 ) ；（ 2）求平均变化率： f (x ? ?x) ? f (x ) f (x ? ?x) ? f (x ) 0 f ?(x 0 ?x ) ? A . 0 ；（3）取极限，当?x 无限趋近与 0 时， ?x 0 无限趋近与一个常数 A，则 导数的几何意义： 函数 f (x) 在 x ? x 0 处的导数就是曲线 y ? f (x) 在点(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求 曲线的切线方程，具体求法分两步： 求出 y ? f (x) 在 x 处的导数，即为曲线 y ? f (x) 在点(x , f (x )) 处的切线的斜率； 0 0 0 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y ? y 0 ? f ?(x 0 )(x ? x ) 。 0 当点 P(x , y 0 0 ) 不在 y ? f (x) 上时，求经过点P 的 y ? f (x) 的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到 切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线 y ? f (x) 在点(x 0 , f (x 0 )) 处的切线平行与y 轴， 这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x ? x 。 0 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数S (t) ，则V ? S?(t) 表示瞬时速度， a ? v?(t) 表示瞬时加速度。二、导数的运算 常见函数的导数： （1） (kx ? b)? ? k (k, b 为常数)； （3） (x)? ? 1 ； （5） (x3 )? ? 3x2 ； （2） C? ? 0 (C 为常数)； （4） (x2 )? ? 2x ； （6） ( 1 )? ? ? 1 ； x x2 12 x（7） ( x )? ? ； （8） (xα )? ? αxα ?1 （α 1 2 x （9） (ax )? ? ax ln a(a ? 0, a ? 1) ； （10） (log a x)? ? 1 log e ? x a 1 x ln a (a ? 0, a ? 1) ； （11） (ex )? ? ex ； （12） (ln x)? ? ； x (sin x)? ? cos x ； 函数的和、差、积、商的导数： (cos x)? ? ? sin x 。 （1） [ f (x) ? g(x)]? ? f ?(x) ? g?(x) ； （2） [Cf (x)]? ? Cf ?(x) （C 为常数）； （3） [ f (x)g(x)]? ? f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ; （4）[ f (x)]? ? f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) (g(x) ? 0) 。 简单复合函数的导数： g(x) g 2(x) 若 y ? f (u), u ? ax ? b ，则 y? ? y? ? u? ，即 y? ? y? ? a 。 x u x x u 三、导数的应用 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y ? f (x) 在区间(a,b) 内可导， 如果恒 f ?(x) ? 0 ，则函数 y ? f (x) 在区间(a,b) 上为增函数； 如果恒 f ?(x) ? 0 ，则函数 y ? f (x) 在区间(a,b) 上为减函数； 如果恒 f ?(x) ? 0 ，则函数 y ? f (x) 在区间(a,b) 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数y ? f (x) 的定义域；②求导数 f ?(x) ； ③解不等式 f ?(x) ? 0 ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式 f ?(x) ? 0 ，解集在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函