导数与数列不等式.docx

导数与数列不等式 1．设函数 f (x) ? (1 ? x) 2 ?2 ln(1 ? x) （1）若关于x 的不等式 f (x) ? m ? 0 在[0 , e ? 1]有实数解，求实数 m 的取值范围； （2）设g(x) ? f (x) ? x 2 ? 1，若关于x 的方程g(x) ? p 至少有一个解，求p 的最小值. 证明不等式： ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 (n ? N *) 2 3 n （4）证明不等式： 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ln2 (n∈N *)． n＋1 n＋2 n＋?n＋1? 2（Ⅰ）当 a ? 9 时，设 g(x)? f(x)? k ，如果函数 g?x?仅有一个零点，求实数 k 的取值范 2 围； （Ⅱ）当a ? 2 时，试比较 f(x)与 1 的大小； （Ⅲ）求证： ln(n ? 1)? 1 ? 1 ? 1 ?L ? 1 (n ? N*) 3 5 7 2n ? 1 3．已知函数 f (x) ? 2a ln(1? x) ? x(a ? 0) . 求 f (x) 的单调区间和极值； f (x) 的极大值为2a ln 2a ? 2a ?1 求证： 4lg e ? lg e ? lg e ????? lg e ? lg e 2 3 n (1?n)n nn (n ?1) (n ? N *) . 已知函数 f ( x) ? kx ， g( x) ? ln x x 求函数 g( x) ? ln x 的单调区间 x 若不等式 f ( x) ? g( x) 在(0,??) 上恒成立，求k 的取值范围。 ?n 2 ln n ? 1 n4 2e 已知函数 f ( x) ? tx ? t ? ln x 。 若函数 f ( x) 在[1,??) 上为增函数，求t 的取值范围。 当n ? N *且n ? 2时，证明 已知函数 f (x) ? ln x ? x ?1 ? 求 f (x) 的最大值; 1 ? 1 ?? ? 1 ? ln n ln 2 ln 3 ln n ?1? 1 ? ?1 ? 2 ?n ? n ?n e ? ? (2)证明不等式: ? ? ? ? ? ?L ? ? ? ? n ? N * ? n ? ? n ? ? n ? e 已知函数 f ?x?? x2 ? ln?x ?1? (1)当 x ? 0 时,求证: f ?x?? x3; 当n ? N ? 时,求证: ?n f ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 5 ? 1 ? ? k?? ? k ? k 1 23 33 n3 4 2n ?n ?1? 已知函数 f (x) ? 2a ln x ? x2 ?1? 当a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间及 f (x) 的最大值; 令 g (x) ? f (x) ? x ,若 g (x) 在定义域上是单调函数,求a 的取值范围; 2 2 2 2 2  3n2 ? n ? 2 对于任意的 n ? 2, n ? N * ,试比较 大小并证明你的结论? ? ? ? ?L ? ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln n 与 的 ?n(n 1) ? 已知函数 f ?x?? x ? a ? ln x ?a ? 0? (1)若a ? 1 ,求 f ?x?的单调区间及 f ?x?的最小值; (2)若a ? 0 ,求 f ?x?的单调区间; ln 22 ln 32 ln n2 ?n ?1??2n ?1?? ? (3)试比较 ? ? ... ? 与 ? ? n ? 2, n ? N ? 的大小,并证明? 22 32 n2 2 n ?1 已知函数 f (x) ? ax ? 用a 表示出b, c ; b ? c(a ? 0) 的图像在点(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 ? x 若 f (x) ? ln x 在[1,??) 上恒成立,求a 的取值范围; (3)证明:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1) ? n (n ? 1) . 2 3 n 2(n ? 1) 设函数 f (x) ? ln(1? x), g(x) ? xf (x), x ? 0 ，其中 f (x) 是 f (x) 的导函数. （1） g (x) ? 1 g (x), g (x) ? g (g (x)), n ? N ，求 g (x) 的表达式； n?1 n ? n （2）若 f (x) ? ag(x) 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n ? N ，比较 g(1)? g(2) ?L ? g(n) 与n ? f (n) 的大小，并加以证明. 解：由题设得， g(x) ? x (x ? 0) 1? x x （Ⅰ）由已