导数解曲线公切线问题.docx

导数解公切线专题 1．(2009 年江西文 12)若存在过点(1,0) 的直线与曲线 y ? x3和 y ? ax2 ? 15 x ? 9 都相切， 4 则a 等于  25 21  7 25 7 A． ?1或- B． ?1或 C． ? 或- D． ? 或7 64 4 4 64 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16 ）若直线 y ? kx ? b 是曲线 y ? ln x ? 2 的切线，也是曲线 y ? ln(x ?1) 的切线，则b ? ． 3.求曲线 y=x3+x2－2x 在点 A(1,0)处的切线方程. 变式：求曲线 y=x3+x2－2x 过点 A(1,0)的切线方程. 1．(2009 年江西文 12)若存在过点(1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax2 ? 15 4 则a 等于 x ? 9 都相切， 25 21 7 25 7 A． ?1或- B． ?1或 C． ? 或- D． ? 或7 64 4 4 64 4 设过(1,0) 的直线与 y ? x3 相切于点(x 0 , x 3 ) ，所以切线方程为 y ? x 3 0 0 3 ? 3x 0 2 (x ? x ) 0 即 y ? 3x 0 2 x ? 2x 0 3 ，又(1,0) 在切线上，则 x 0 ? 0 或 x 0 ? ? ， 2 15 25当 x ? 0 时，由 y ? 0 与 y ? ax2 ? x ? 9 相切可得a ? ? 15 25 3 27 27 150 3 27 27 15 当 x ? ? 时，由 y ? x ? 与 y ? ax2 ? x ? 9 相切可得a ? ?1 ，所以选 A . 0 2 4 4 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16 ）若直线 y ? kx ? b 是曲线 y ? ln x ? 2 的切线，也是曲线 y ? ln(x ?1) 的切线，则b ? ． 【答案】1? ln2 y 考点： 导数的几何意义. 3.求曲线 y=x3+x2－2x 在点 A(1,0)处的切线方程. 解：∵y′=3x2+2x－2, x=1∴切线斜率 k= y x=1 xO·∴切线方程为 y=3(x－1)， 即 3x－y－3=0. x O · 变式：求曲线 y=x3+x2－2x 过点 A(1,0)的切线方程. A 000解 设切点 P（x0, x 3+x 2－2x ）， 0 0 0 ∵y′=3x2+2x－2， ∴切线斜率 k=3x02+2x0－2. ∴切线方程为 y－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(x－x0) . ∵点 A 在切线上， ∴0－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(1－ x0)． 即 x03－x02－x0+1=0． 故 (x0－1)2 ( x0+1）=0． 解 得 x0=－1 或 x0= 1 ． ∴当 x0=－1 时，切线方程为 x+y－1=0； 当 x0=1 时，切线方程为３x－ y－３=0． 综上，曲线过点 A（1，0）的切线方程为 3x－y－3=0，或 x+y－1=0.