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球与盒子的摆列组合问题(精髓版)
第一看一下分类,主要有
8种:
1)球
同,盒
同,无
空箱
2)球
同,盒
同,同意空箱
3)球
同,盒不一样,无
空箱
球同,盒不一样,同意空箱
球不一样,盒相同,无空箱
6)球不一样,盒相同,同意空箱
7)球不一样,盒不一样,无空箱
8)球不一样,盒不一样,同意空箱
做这类题型重点是要对号入坐,下边的解说剖析一致假定m个球,n个盒子。
m
先从最简单下手,第8种,每个球都有n种选择,因此是n
剩下的我们先以前四种(数字都不会太大,且剖析较简单)开始。
做题时一看到球同,盒同,就想到充数法,事实证明这是最快的一种方法。
如第(1)种,假定m=7,n=4.它的状况只有1114
1
12
3
1
2
2
2
这3种状况,因此答案是3.
第(2)种是在第(
1)种的基础上延长
它的状况以下
0,0,0,7
0,0,1,6
0,0,2,5
0,0,3,4
0,1,1,5
0,1,2,4
0,1,3,3
0,2,2,3
1,1,1,4
1,1,2,3
1,2,2,2
因此答案是11种。
第(3)种,典型的插板法(不懂的网上搜一下)
。记着就行Cmn--11
n-1
第(4)种,是上边方法的延长,相同记着就行
Cm
n-1
下边剖析球不一样的(5)(6)(7)3种状况
先给各位献上一张表,大家别看到数字就惧怕了,其实也就是近似与乘法口诀表,(5)(6)
(7)的答案都能够在这个表上找到。
看一下列图上的数字是怎么来的,看下边解说
第一左右两边都是1,第几行就有几个数,比方第
5行就是1XXX1
第二S(n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)
,含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位
置数字加上一排的相同地点数字的
K倍
比如S(7,3)就是第
7排第3个数字,因此他等于上排第
6排第2个数字+第6排第3个
地点*3
因此绘图的话,显然第
1排是1,第2排1,1,推理第3排(左右两边都是1,只有中间那
个数字没确立)
因此S(3,2)=第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3,因此第3排数字就是1,3,1.
同理S(4,2)=S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7,
S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......
这样类推三角形
因此第(5)种即:N不一样球,M同箱子,无空箱。一共有
S(N,M)种分法,比方7个不一样球,
4个相同箱子,每个箱子起码一个,则看三角形的第7行,第4个数字多少。
----------------------------------------------------------------------------------------
而种类6,N不一样球,M同箱,同意空的时候(在种类
5的基础上同意空箱)。显然是N个球不变,一个空
箱子都没有+有一个空箱子+有两个空箱子+有三个空箱子+,,,,,,都装在一个箱子。说的简单点一共有就是
S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)=
也就是说
第N排开始第
1个数字向来加到第
M个数字就是总的
分法
----------------------------------------------------------------------------------------
而种类
7相同是在种类
5的基础上涨华,由于
5是箱同的,而
7箱不一样,因此箱子自己多了
P(M,M)=M!倍
可能
因此种类7的公式就是M!乘以S(N,M)
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