5-5-1质数合数分解质因数_题库教师版.pdf

5-5 质数合数分解质因数 本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的 另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构 的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会 与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活 运用。 1． 质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数 (也叫做素数).一个数除了 1 和它本身， 还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数. 常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数 个位数字只能是 1，3，7 或 9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. ⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如： 30  2  3  5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如12  2  2  3  22  3 ，2、3 都叫做 12 的 因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这 个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 a1 a2 a3 ak 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即：n  p 1  p 2  p 3   p k 其中为 数， a1  a2   ak 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6 和 7. 4. 部分特殊数的分解 111 3  37 ；1001 7  11 13 ；11111 4 1 271 ；10001 73  137 ；1995  3  5  7  19 ； 1998  2  3  3  3  37 ；2007  3  3  223 ；2008  2  2  2  251 ；10101 3  7  13  37 . 5. 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所 以我们只要拿所有小于p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先 找一个大于且接近 p 的平方数K 2 ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的 那么 p 就为质数. 例如：149 很接近 144  12  12 ，根据整除的性 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是 数. 例题： 模块一、质数合数的基本概念的应用 【例 1】 下面是主试委员会为第六届 “华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为 1—56 号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这 句话． 【解析】按要求编号排序，并画出质数号码： 美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋； 1 2 3 4