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递推数列求通项公式的常用方法 公式法 例1、 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 【解析】： ， ， ，又， . 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例2、 已知数列中，，，求数列的通项公式. 【解析】：，，， 猜测，再用数学归纳法证明.（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 三 、累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 例3 、已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式. 【解析】：,,=1++...+ =. 反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为。 四 、累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积)。 例4、 已知,,求数列通项公式. 【解析】：,,又有= 1×=,当时，满足，. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 五、构造新数列（待定系数法）: 将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。 例5、已知数列中, ,,求的通项公式. 【解析】:利用,求得,是首项为 ,公比为2的等比数列,即, 反思：构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列. 六 、倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时将数列看成一个新的数列，即再利用“构造新数列”的方法求解。 例6、 已知数列中, ,,求数列的通项公式. 【解析】:将取倒数得: ,,是以为首项,公差为2的等差数列. ,. 反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了。 七、特征根法：形如递推公式为（其中p，q均为常数）。 对于由递推公式，有给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根， 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）； 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例7: 数列满足， ,求 【解析】：由题可知数列的特征方程是：。 , 。又由，于是 故 反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出A,B的用已知量a,b表示的值，从而可得数列的通项公式。 八、不动点法 若A,B且AD-BC，解,设为其两根 = 1 \* ROMAN I、若，数列是等比数列； = 2 \* ROMAN II、若，数列是等差数列。 例8、已知数列满足，求数列的通项公式。 【解析】：令，得，则x=1是函数的不动点。 因为 所以 ， 所以 数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。 反思：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。 变式:设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，… （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式 九、换元法 即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数列看起来更简单，更易找到解决的方法。 例9、 已知数列满足，求数列的通项公式。 【解析】：令，则 故 代入得 即 因为，故 则，即，可化为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。反思：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 十、取对数法： 形如 这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列（待定系数法）求解。 例10：已知数列｛｝中，，求数列。 【解析】：由两边取对数得， 令，则，再利用构造新数列（待定系数法）解得：。 十一、周期型： 由已知递推式计算出前几项，寻找周期。此题型一般是在不能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。 例11：若数列满足，若，则的值为___________。 反思：此题的关键在于观察递推数列的形式，取一些特定的n的值，求出数列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。 变式:已知数列满足，则= （ ） 十二、双数列型 解法：根据