5-3-1约数与倍数_题库学生版.pdf

5-3 约数与倍数 本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本 上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式 还有一些主要性质一定要记住. 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分 解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全 归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为 ☆☆☆ 的结构” △△△  ... 一、 约数的概念与最大公约数 0 被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 3  7  11， 252  22  32  7 ，所以 (231,252)  3  7  2 1； 2 18 12 ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 3 9 6 ，所以(12,18)  2  3  6 ； 3 2 ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗 转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一 个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一 个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的 除数是 1，那么原来的两个数是互质的) ． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515  600  2 315 ；600  315  1285 ；315  285  130 ； 285  30  9 15 ；30  15  2 0 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2 ． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； n n ③几个数都乘以一个自然数 ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 ． 3 ． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a ；求出各个分数的分子 b 的最大公约数 b ； 即为所求． a 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如： 231 3  7  11， 252  22  32  7 ，所以 231,252  22  32  7  11 2772 ； ②短除法求最小公倍数； 2 18 12 例如： 3 9 6 ，所以18,12  2  3  3  2  36 ； 3 2 a  b ③[a,b]  ． (a,b) 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 a b 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 ；求出各个分数分母的最大公约数 ； b 3 5 [3,5] 15 即为所求．例如：[ , ]   a