线代课件第五章5习题课.pdfVIP

２ 向量的长度 定义 令 2 2 2 + + x [x , x ] x 1 + x 2 x n , x 称为n维向量x 的长度(或范数). 向量的长度具有下列性质： (1)非负性 当x  0时, x  0;当x 0时, x 0; (2)齐次性 x  x ; (3)三角不等式 x + y  x + y . 当x 1时, 称x 为单位向量. 向量的内积满足施瓦茨 不等式 [x ,y ]2  [x , x ][y , y ], [x , y ] 从而有  1, (当x y  0时). x y ３ 向量的夹角 定义 当x  0, y  0时,  arccos [x , y ] x y 称为n维向量x 与y 的夹角. 当[x , y ] 0时, 称向量x 与y 正交. 若x 0,则x 与任何向量都正交. ４ 正交向量组的性质 所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基． 定理 若n维向量 , , , 是一组两两正交的非 a1 a 2 ar 零向量,则 , , , 线性无关. a1 a 2 ar 定义 设n维向量 , , , 是向量空间V (V  n) e1 e2 er R 的一个基,如果 , , , 两两正交,则称 , , , e1 e2 er e1 e2 er 是V的一个规范正交基 . 若 , , , 是V的一个规范正交基 ,那么V e1 e2 er 中任一向量a都可表为 a 1 e1 + 2 e2 + + r er , 其中  eT a [a, e ], (i 1,2,, r ). i i i 施密特正交化方法 设 , , , 是向量空间 V的一个基, 要求V a1 a 2 ar 的一个规范正交基 , 只需把 , , , 这个基规 a1 a 2 ar 范正交化. 第一步 正交化 取 b1