最全手拉手模型.pdf

最最全全⼿⼿拉拉⼿⼿模模型型 ⼿⼿拉拉⼿⼿是是数数学学中中最最常常见见的的⼀⼀种种⼏⼏何何图图形形。。属属于于共共端端点点⼏⼏何何模模型型的的⼀⼀种种类类别别。。在在平平时时的的考考 之之中中，，经经常常会会遇遇到到这这样样⼀⼀类类考考题题。。 它它是是我我们们研研究究⼏⼏何何图图形形的的基基础础。。当当然然，，对对于于⼿⼿拉拉⼿⼿模模型型结结论论的的研研究究，，我我们们这这⼀⼀节节也也会会提提供供 ⼀⼀些些⼿⼿段段。。⽐⽐如如旋旋转转、、全全等等都都是是我我们们的的处处理理⼿⼿段段。。 当当然然，，说说了了那那么么多多，，我我们们来来说说下下，，什什么么是是⼿⼿拉拉⼿⼿模模型型，，我我们们看看下下什什么么样样的的图图形形叫叫做做⼿⼿拉拉 ⼿⼿模模型型。。 ⼿⼿拉拉⼿⼿模模型型主主要要抓抓三三个个条条件件：： 1：共顶点 2 ：等腰 （等边，正⽅形等等，换句话讲共顶点的两边相等） 3 ：顶⾓相等 ⼿拉⼿模型主要分为：“等边△+等边△”和“等腰△+等腰△” 类类型型⼀⼀：：等等边边△+等等边边△ 前前题题条条件件：：图中，B,C,D三点共线，有等边△ABC和等边△CDE. （1）图中，B,C,D三点共线，有等边△ABC和等边△CDE. 我们可以得到以下⼀些结论： 结论⼀：△ACD≌△BCE （2）记AC、BE交点为M，A D、CE交点为N ： 结论⼆：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD （3）连接MN ： 结论三：△MNC是等边三⾓形+MN//BC （4）记A D、BE交点为P，连接PC ： 因为△ACD≌△BCE 所以过点C作CG⊥BE,CH⊥A D ∴CG与CH分别是BE与A D边上的⾼ ∵BE=A D ∴CG=CH 所以易知Rt△PGC ≌Rt△PCH (HL)∴∠1=∠2 结论四：PC平分∠BPD （5）∵∠CA D+∠CDA=∠ACB=60 ° ∴∠DBE+∠CDA=60 ° ∴∠BPD=120 ° 由 （4）可知 ∠BPC=∠CPD=60 ° ∴∠A PB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60 °． 结论五：∠A PB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60 °． （6）连接A E ： 结论六：P点是△ACE的费马点 （PA+PC+PE值最⼩） （）因为∠A PB=∠ACB=60 ° 所以可以得到:△AMP∽△BMC 同理可以得到以下⼏组相似三⾓形： △AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND 当然，我们也可以得到A、B、C、P四点共圆/P、C、D、E四点共圆 结论七：△AMP∽△BMC ， △AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND +A、B、C、P四点共圆和P、C、D、E四点共圆 (8) 如图，在PD上截取PF=PC, 由此可以知道△PCF为等边三⾓形 ∴易证：△PCE≌△FCD ∴有PD=CP+PE 同理可得:BP=A P+PC 结论⼋：PD=CP+PE，BP=A P+PC 注意：当然前⾯都是在B、C、D共线的时候得出的结论。当B、C、D不共线的时候，只 有MN//BC不成⽴ 类类型型⼆⼆：：等等腰腰△+等等腰腰△ 前前题题条条件件：：等腰△ABC和等腰△CDE,点C是公共顶点，∠ACB=∠DCE=α，如图所⽰： 图 （1）， （2）这种位置关系可以的到△A DC ≌△CBE,A D=BE 图 （3）除了可以得到全等结论外，还可以得到： （1）CH平分∠AHE （2）A、B、H、C 四点共圆 （3）A、C、H、D、E四点共圆 图 （1）， （2）要得到类似结论需要延长A D,CE 现在讨论下α=90 °的情况. 即，“等腰Rt△+等腰Rt△”的情况： 这⾥⾯有许多有趣的结论. 在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEC,如图，拍摄了⼏张静态的照⽚. 由图(1),(2),(3)可以得到: △A DC ≌△BCE,以及A D与BE垂直，或它们延长线垂直. 图(3)可以得到⼏组相似三⾓形。其实和前⾯的结论⼀样。这⾥不多做赘述。 当然，上⾯的等腰直⾓三⾓形除了上⾯的结论之外，这⾥再补充⼀些结论。 如图，连接A E,BD。由于A D⊥BE，所以四边形ABDE为锤美四边形。 结论：(1)锤美四边形结论：AB平⽅+DE平⽅=BD平⽅+A E平⽅ （2）A F=BF+CF;EF=DF+CF 锤美四边形的结论就不证明了，主要是利⽤勾股定理进⾏证明，⽹上有很多。 分别取线段A E,BD的