牛顿莱布尼茨公式.docx

§2 牛顿—莱布尼茨公式 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提 供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理 9-1 若函数 f (x) 在[a, b] 上连续，且存在原函数F (x) ，则 f (x) 在[a, b] 上可积，且 ?b f (x)dx ? F (b) ? F (a) a 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为?b a f (x)dx ? F (x) b a ? F (b) ? F (a) 。 注 1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 F (x) ：在在[a, b] 上连续，在(a, b) 内可导， 且 F ?(x) ? f (x), x ? (a, b) 。而 f (x) 只要在在[a, b] 上可积即可。 注 2：本定理对 F (x) 的要求是多余的。 例 1 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： 1） ?b xndx （n 为整数）； 2） ? b dx （0ab）；3） ?b ex dx ； a a x 2 a 4） ??sin xdx ；5） ?2 x 4 ? x 2 dx . 0 0 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 例 2 利用定积分求极限： lim( 1 ? 1 ? ? 1 ) ? J . n?? n ? 1 n ? 2 2n 解答方法：利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。 作业： P206：1（2）、（4）、（6）、（8）；P207：2（2）、（3）。 1