高等数学第五章定积分总结.docx

y= y=f (x) x=a x=b 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积 分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数 y ? f (x) ∈C[a, b], 且 y ? f (x) 0. 由曲线 y ? f (x), x ? a, x ? b, y ? 0 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? 矩形面积=底 高. 预备一张细长条的纸, 其面积 底 高. 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y y=f (x) a=x x 0 1 x x i-1 i x =b n 第 i 个细长条面积?S ? f (? )?x i i i (?? ?[x , x ], ?x ? x ? x ) i i ?1 i i i i ?1 曲边梯形面积: S ? ?n i ?1 f (? )?x i i 定积分概念示意图.ppt 定义: S ? lim ?n ???0 ? i 1 f (? )?x i i (? ? max{ ?x i , i ? 1, 2, ?, n) 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 定义 设 y ? f (x) 在[a, b]有定义, 且有界. 分割: 用分点a ? x 0 ? x ? ? ? x 1 n ? b 把[a, b]分割成n 个小区间: [x , x i?1 i ], i ? 1, 2, ?, n 记?x i ? x ? x i  i?1 , ? ? max{?x i , i ? 1, 2, ?, n} 取点: 在每个小区间[x , x ]上任取一点 i ?1 i , 做乘积: f (? )?x . ii i i 求和: ?n i?1 f (? )?x i i 取极限: lim ?n ???0 ? i 1 f (? )?x i i 若极限存在, 则其为 f (x) 在[a, b]上的定积分, 记作: ? b a f (x)dx . 即: ??b f (x)dx ? lim ?n a ??0 ? i 1  f (?  )?x i i [a, b]: 积分区间；a：积分下限；b：积分上限； ?n i?1 f (? )?x i i  积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 注: (1) 注: (1) ?n i?1 f (? )?x i 与区间的分割法 i x 和取点法 i i 有关; 而? b f (x)dx 与 a x 和 i i 无 关. (2) ?b f (x)dx 与 a、b、f 有关，与x 无关，即： a ?b f (x)dx ? ?b f (t)dt ? ?b f (u)du ? ?b f (? ?)d ? ? a 定积分存在定理 a a a 定理 若 f (x) 在[a, b]上有界且只有有限个间断点，则 f (x) 在[a, b]上可积. 推论 若 f (x) 在[a, b]上连续，则 f (x) 在[a, b]上可积. 例 1. 求? 1 xdx 0 解: f (x) ? x 在[0, 1]连续, 积分存在.  ?1 xdx ? lim ?n ? ?x  与[0, 1]的分割法和 ?0 ??0 i i i 1 ? 的取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便. i i 1 (1) 将[0, 1]n 等分, x i ? , ?x ? n i n 取点 =? ? x , i i i f (? i )?x ? i i n 2 求和?n f (? )?x ? ?n i ? 1 n(n ? 1) i?1 i i i?1 n 2 n 2 2 取极限lim f (? )?x ? lim n(n ? 1) ? 1 ??0 故? 1 xdx ? 1 i i n?? 2n 2 2 0 2 定积分的几何意义 若 f (x) 在[a, b]上非负, 则?b a aS+S+S-若 f (x) 在[a, a S + S + S -  f (x)dx =曲边梯形面积; f (x)dx =曲边梯形面积的负值; ? b a ?2数和. ? 2 f (x)dx 的几何意义是由曲线 y ? f (x), x ?