高等数学习题详解第9章 无穷级数.docx

习题 9-1 判定下列级数的收敛性： n ? 1(1) ?? ( ? n ) ; (2) n ? 1 1 ; (3) n ? 3 ?? ln n ; (4) n ? 1 ?? (?1)n 2 ; n?1 n?1 n?1 n?1 (5) ?? n?1 n ? 1 ; (6) n ?? n?0 (?1)n ? n ． 2n ? 1 解：（1） S n 发散。 ? ?n k ?1 ( k ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? 1 ，则lim S n n lim( n 1 1) ，级数 n 1 （2）由于 n 3 n 1 1 n ，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在 n 4 nln n ln n n n [ln n ln(n 1)] ln1 ln(n 1) ln(n k 1 1 1) ， 则 k 1 S （ 3 ） n lim S n lim[ ln(n 1)] ，级数发散。 n n 4（ ） S 4 n 2 , n 0 , n 2k 1 2k  , k 1,2,3, ; 因而lim S n n  不存在，级数发散。 级数通项为un n n 1 ，由于lim n 1 n n 1 0 ，不满足级数收敛的必要条件， 原级数发散。 级数通项为u n  ( 1)n n 2n 1  ，而lim S n n  不存在，级数发散。 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ?? ? 1 ? 1 ? ； (2) ?? 1 ; n?1 ? ? 2n ? 3n ?  n?1 n(n ? 1)(n ? 2) (3) ?? n?1 n ?sin π ; (4) 2n ?? n?0 cos nπ ． 2 n 12k1 n 1 2k 1 3k n 1 2k n 1 3k 1 k 1 k 1 k 1 1 2n 1 (1 2 1 ) 3n 3 2 1 2n 1 1 . 2 3n S n lim S lim S n n lim( 3 n 2 1 2n 1 1 ) 2 3n 3 , 2 S k 1 k 1 1 2n 1 3n 3 . 2 1n 1 n(n 1)(n 2) 2 n(n 1 [ 1 1 1) (n 1)(n 2) ]，则 k 1k k 1 k 1 ] 1 1 [ 1 ] 2 k (k 1 1 1 [ 2) k (k n 1 1)(k n 1) (k 1)(k 2) 2 2 (n 1)(n 2) 1 1 1 , n 所以该级数的和为 lim S lim S n n lim 1 [ n 2 2 (n 1)(n 2) ] 4 即 n n 1 1 1 . n(n 1)(n 2) 4 级数的通项为 u  n sin  ，由于 lim n sin sin lim( 2n )  0 ，不满 n 2n n 2n n 2 2 2n 足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。 由于 n n 1 k cos 2 1 , n 0 , n 4k或n 4k 1 4k , k 0,1,2,3, ; k 0 4k 2或n 3 n 因而lim S n n  不存在，原级数发散。 习题 9-2 1n( 1 n(n2 ? 5) (1) ?? n?1 1 (n ? 1)(n ? 2)  ; (2) ?? n ?1  ； (3) ?? n?1 1 (a＞0); (4) 1 ? an ?? n?1 n ? 1 ； 2n4 ? 1 (5) ?? 3n ； (6) ?? nn ; (7) ?? 3 ? 5 ? 7 ? ? (2n ? 1) ; (8) ?? n ； n?1 n ? 2n n! ? ?n ? ?  n?1 4 ? 7 ?10 ? ? (3n ? 1) 3n n?1 (9) 解： ?? n?1 (n!)2 2n2  ； (10) ?? n?1 ? n ?n ? 2n ? 1 ?  ; (11) ?? n?1  2n sin π 3n  ; (12) ?? n?1 n cos 2 nπ 3 ． 2n 由于0收敛。 1 (n 1)(n 2) 1 ，而级数 n2 n 1 1 n 1 n 1 1 (n 1)(n 2) n2 因 为 lim 1 n(n2 5)  3 lim n2  lim 1  1，而 p-级数  1 收敛， 3n 1 n n(n2 5) n 1 5 3 n2 n2 1 3 n 1 n2 由比较判别法的极限形式知 n 1 1，通项1 1，通项 n(n2 1 收敛。 5) 1 若a u ，级数 显然发散； n 1 an 2 1 an n 1 若0 a 1，有