高数上总结_2_原创精品文档.docVIP

PAGE PAGE 1 高等数学上总结 一极限问题： （一）概念：要理解接受Ｅ是无法具体确定的，只能是无限靠近0，这样才能表现极限是一个无限趋近的过程 ；nN表示此时ｎ无限大了。故永远有Ｅ的式子，如题：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 用极限定义证明：（１） (2) 证明;（1）对任意E0，要使，解得,得x,令N=,当nN时，恒有成立，即得证命题。 （2）对任意E0，要使解得，得,令N=,当nN时，恒有成立，即得证命题。 总结：（1），（2）中N是随解的集而变的，这就是怎样用定义证明；（2）中遇到有界函数先放缩了再用（1）的方法。 （二）性质:记住两条就够了：极限保号性；极限与子极限的关系（后一条最重要）。如洛必达法则求极限有一种题：求（型） 分析：这是一个数列，不连续，不能直接用洛必达法则，但数列是特殊的函数，是函数的子函数，由上面性质有解如下： 令则，又（洛必达法则），即 这题难在三点：1，与是通过极限性质得到的；2，洛必达法则运用；3，复合求极限的转化： 用这个性质还可以证明一函数极限是否存在，几个子极限一样则有极限，不一样则不存在。如就没有极限，当n=2k,n=4k+1,n=4k+3得极限分别是0，1，-1.故他无极限。 （三）求极限题型大总结（最重要的，必会！） 灵活运用极限加减乘除运算必会，还有，C是常数。和，和。如这样的极限就用最后一个公式解，答案是： 各种题型：要首先看清极限过程，如而 （１）即趋近一个常数时：如果是整式（即无分母）直接代入，如。如果是分式，首先看分母值：分母不为零也直接代，如；分母为零但分子不为零时，结果是如 分母分子都为零时，一定可以先约分再求，如 总结：整式和分母不为零的分式都是直接代，分母分子都为零先约分，分母为零分子不为零结果是 （2）时直接有公式，如要推的方法是除以最高次方。 （m=n）,或=0（mn）或=(mn) (3)将不习惯的可利用等价无穷小代换后再按上面方法去求。后面有等价无穷小代换公式。 （4）用洛必达法则求。后面具体讲。 （5）有理化法：如 （6）同除以某数,如如 （7）取中间变量化解难度，如，令得，得原式= 如 令t=x-1,得x=t+1,原式= 此题还有另外三种解法：1，洛必达法则：原式= 2，等价无穷小代换：令t=x-1,得x=t+1,原式= 3，原式= （8）巧用恒等变形，或高中知识化解。如 如 是先数列求和再求极限。 （9）微分中值定理求极限：如，设求 解：由拉格朗日中值定理有 在 x+a和x之间, 易知，故= （四）无穷大与无穷小：记住两点，1，有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量；2，无穷小的倒数无穷大，无穷大的倒数无穷小。 这两点都常用，非常重要! 什么高阶，低阶，同阶，等价，k阶无穷小，概念就省了，跟着定义就是。关键背住下面的等价无穷小代换： 1， 2， 3， 4， 5, 1- 6， 7， 8，, 9， 10， 后面两个是补充的常见的 特别注意等价无穷小代换只能代换乘除，不能代换加减，如上面（6）的第一个例子就不能代换，这种能：中分母可以代换为，分子则不行，其实是这样的：，由极限乘法法则和等价无穷小代,易知，故这种能等价代换，答案： 题:(mn时）或=1（m=n时）或=（mn时） 题： 由上面的代换公式得的。 （五）两个重要极限：1， 拓展结论： ： 2， 拓展结论： 1,不变在：中t保持→0；2，不变在;中t保持t→∞. 下面两组对比可以告诉你极限注意极限过程的重要性： 1，而 2，而， 所以，一定要注意极限过程！ 两个准则：夹逼准则就是通过适当放缩把要求的式子逼在两个极限相等的式子间。如证明： 证明;因为又所以且由夹逼定理得=1 准则二：就是证明两个条件则就说明极限的存在性，无法求出极限。如说明数列的极限存在吗？存在求出极限。设数列为易知所以单调递增；又，猜想，用数学归纳法证明：（1）n=1时，成立；（2）如果成立，则（3）也成立。故对任意正整数有恒成立。又观察发现 所以有界；由准则二知极限存在，设A，由得， 得 解得(舍