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数值分析复习 Chap 1 数值计算中的误差 误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性 误差 误差限 有效数字1) 定义 1.1：称 为 的绝对误差(简称误差)。设 是准确值， 是 的近似值2) 定义 1.2：若 ，则称 是 x 的误差限。称单位量上的误差 为 x 的相对误差。3) 定义 1.3： 定义 1.4： 若 , 则称 是 x 的相对误差限。4) 定义 1.5： 如果近似值 x 的误差限是它的某一位的半个单位，就称它准确到这一位。若该位到 x 左边第一位非零数字共有n 位，则称它有n 位有效数字。5)例 题1.1 用微分计算函数值误差相对误差误差例1.9 已知 的近似值 x ，一元函数值 的近似值为1)2)已知自变量误差和求二元函数值u = f (x,y)的误差 和例1.10 ,例1.11 3)和、差、积、商的误差例1.10 , 例1.11, 题1.5 计算方法的数值稳定性1)求根公式的数值稳定性2)递推法的数值稳定性数值计算中应注意的几个原则避免相近数相减 ;避免小除数, 大乘数 ;避免大数吃小数 ;采用数值稳定的算法 ;减少运算次数.题1.9, 题1.10 题1.7 Chap 2 插值法与最小二乘法 多项式插值 Lagrange插值公式 插值余项 Newton插值公式 Hermite插值 分段插值 三次样条函数 n 次多项式插值问题：求作一个次数不超过 n 的多项式 ，使之满足插值条件f (x)的满足插值条件()的n次插值多项式插值区间插值节点已知 上的函数 在点上的函数值被插值函数 Lagrange插值公式 插值余项求作一个1次已知函数 在点 上的函数值 ， 多项式 ，使得1) 线性插值 2) 抛物插值已知函数 在点 上的函数值 ，求作 一个2次多项式 ，使得 3) n 次Lagrange插值满足n 次Lagrange插值基函数 的性质:●● 是 n 次式;●题2.1 题2.2 4) Lagrange插值余项 ：设 的 n+1阶导数 在 上存在，则其中 与 有关 。??例2.4, 题2.5 Newton插值公式1) 差商、差商的计算例2.5 2) Newton插值公式误差题2.6, 题2.7 差商与微商的关系 Hermite插值3次Hermite插值3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质)插值余项例2.9, 题2.8, 题2.10 混合型Hermite插值 分段插值1) 分段线性插值2) 分段3次Hermite插值( 如何确定其解析式, 光滑性, 误差估计 )题2.11, 题2.12 3次样条函数1) 什么是3次样条函数, 3次样条插值2) 比较3次多项式插值(不含导数条件), 分段3次Hermite插值, 3次样条插值 Chap 3 数值积分与数值微分 机械求积公式 插值型求积公式 复合求积公式 Gauss求积公式 数值微分 机械求积公式求积节点求积系数例3.1, 题3.1, 题3.2 代数精度: 若一个机械求积公式对准确成立,但对不准确成立, 就说它具有m次代数精度.●利用代数精度定义构造求积公式● 插值型求积公式1) 求积系数2) 求积系数具有 n+1个求积节点的插值型求积公式至少具 有 n 次代数精度.3) 中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求积公式 (各自的代数精度).4) Newton-Cotes公式: 一类节点等距分布的插值型求积公式.( n为奇数时, 代数精度为n; n为偶数时, 代数精度为n+1) 梯形公式余项记Simpson公式余项 复合求积公式 (复合求积的思想)1) 复合梯形公式复合梯形求积公式