数值计算方法在化学工业中应用.docx

数值计算方法在化学工业中应用 化工过程中的许多问题常常可以归结为解方程f ( x)= 0或者定积分问题. 若f ( x) 是一元线性方程式或一元二次方程式,就可以用代数方法求解析解,若f ( x) 是一元三次或高次方程式,虽有的具有解析解,但大部分公式较繁,在实际问题中没有应用价值,且更一般的高次方程式根本不存在解析解 ,故求解析解是不可能的,只能用数值方法求近似解. 非线性方程的数值计算法在化工过程经常应用的有: 迈步法、二分法、迭代法、牛顿法和弦截法.除此之外，在化工计算中还常常遇到定积分问题。数学中定积分计算常用牛顿- 莱布尼兹公式,即:若f ( x) 在[ a , b ]上连续,且F(x) 是f ( x) 的原函数, 由∫f ( x)= F( b) - F( a) 。然而,许多实际问题计算中,这种方法常常行不通,原因主要有:(1) 有些函数其原函数不能用初等函数表示(2) 有时f ( x) 的原函数表达式过于复杂,不便于牛顿- 莱布尼兹公式计算(3) 被积函数f ( x) 没有明显的表达式,其函数关系由数表或图形给出,只知道它在苦干离散点上的数值。因此,掌握定积分的近似方法———数值积分同样是十分必要的。 一、以合成气(CO 和H2 的混合气) 合成甲醇反应过程中平衡气体中各组分的体积分数的计算为例说明以上各数值计算法的特点.已知CO 和H2 的体积比D 为1∶2 的合成气于温度365 ℃、压力310 ×Pa 时在催化剂的作用下进行甲醇合成反应: CO + 2H2=CH3OH.平衡常数 关系式为: 与温度T ( K) 的 lg KP = 3925/ T - 9、84lg T - 0、00347 T + 19、8由于合成甲醇反应为可逆反应 ,假设起始反应物 CO 和H2 的物质的量分别为n0CO、n0H2,总物质的量为1 mol ,反应达到平衡时甲醇的生成量为x mol , 则 平 衡 时 体 系 中 各 物 质 的 摩 尔 分 率 为: 则 可 将 平 衡 常 数 表 示 为 整 理 可 得 ： 首先选择初始值为0 ,步长为0、03 ,采用迈步法求得根的近似值, 再分别采用二分法、迭代法、牛顿法以及弦截法求得根的精确值,从而根据上式求得各物质的体积分率. 从表1中可以看出,采用迈步法所需计算次数最高,而且所获得的计算值只是粗略值;采用二分法和迭代法所获得的精确值仍与真实值有较大的偏差,然而迭代法所需计算次数较小 ;采用牛顿法和弦截法所获得的精确值与真实值接近 ,只是计算量略大. 因此,以上方法各有利弊,在实际化工计算过程中,应根据方程的特点和研究体系的特征确定合适的求非线性方程的方法. 二、 吸收塔填料层高度的计算：当汽- 液平衡线为直线时,填料层高度可采用对数平均推动力法和吸收因素法计算 。然而在实际设计工作中,大多数吸收系统的平衡线为曲线 ,一般常用的计算方法为图解积分法和近似图解法,这两种方法虽然较为有效,但计算精度不能保证。如用数值积分的方法来进行计算。填料层高度一般可采用 下式计算: 式中 H:填料层高度; V :惰性气体的摩尔流量,KY :气相总吸收系数, a :填料层的有效比表面积;Ω:塔截面积; Y :溶质组分在气相中的摩尔比, Y*:与液相中溶质摩尔比 X相平衡的气相摩尔比。Y*与X 之间的关系为相平衡关系, 它可以是一种形如Y*= g ( X) 的函数关系,也可以是一组实测的数据。假如是一组实测的数据, 可运用多项式回归,得到Y*与X 的关系 表达式: 式中 β0 、 β 1 、β2 、∧、βn :多项式的参数。总之Y*与X 之间的关系可用解析式的函数关系来表示。X 与Y 之间的关系可由吸收塔的操作线方程 来确定 式中 L :吸收剂用量; X2 : 进塔液体中溶质组分为摩尔比; Y2 :出塔气体中溶质组分的摩尔比, 它们都是已知量。Y*与Y 的关系式,不妨表示成Y*= q ( Y) 令 则 上 式 可 写 成 因此,只要将积分区间[ Y1 , Y2 ] 等分为n ( 或2 n) 个小区间,确定步长h ,计算出第一个节点的函数值f ( Yk) ,再运用复合求积公式计算出的值,进而即可计算出填料层 高度H。 其实，计算方法在化学工业生产中的应用还有很多，比如在量子化学计算，在反应活化能计算，数值方法都有很重要的作用。