数值分析试题及答案汇总.docx

一、 填空题（20×2′） 数值分析试题 ? ?1. A ? ? 3 2?, ? ? ?? 2 1? ? 2 ?设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有 2 位有效数字。 ??? 3?? 2. 若 f(x)=x7－x3＋1，则 f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。 3. 设，‖A‖∞＝ 5 ，‖X‖∞＝ 3 ， ‖AX‖∞≤_15 。 非线性方程 f(x)=0 的迭代函数 x=?(x)在有解区间满足|?’(x)|1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 区间[a,b]上的三次样条插值函数 S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插 公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结 果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 i i拉格朗日插值公式中 f(x )的系数 a (x)的特点是： ? i i i ?0 a ( x) ? 1；所以当系数 a (x)满足 a (x)1， i i i 计算时不会放大 f(xi)的误差。 要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取 4 位有效数字。 对任意初始向量 X(0)及任意向量 g，线性方程组的迭代公式 x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解 x*的充分必要条件是?(B)1。 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5。 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)||f(xn)|。 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差 ri(i=0,1,… ,n)来实现的，其中的残差 ri ＝ ii(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/a ，(i=0,1,…,n)。 ii 在非线性方程 f(x)=0 使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且 f(x)的二阶导数不变号，则初始点 x0 的选取依据为 f(x0)f”(x0)0。 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。 二、 判断题（10×1′） -来源网络，仅供个人学习参考 - -来源网络，仅供个人学习参考 1、 若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 AX＝b 一定可以使用高斯消元法求解。(×) 2、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x*附近是平方收敛的。(?) 3、 若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式 则解线性方程组 AX＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×) 4、 样条插值一种分段插值。(?) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。(?) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 (?) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 AX＝b。(×) 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计 ,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。(?) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×) 三、 计算题（5×10′） 1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答： （1，5，2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行： L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为： （-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行： L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为： 回代得： ? x ? 3.00005 ???? x1 ? ?? ? 2 x ? ?1.00010 3 xif(xi)0121-132、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式 P4(x xi f(xi) 0 1 2 1 -1 3 f f’(x ) i 1 5 解答： 做差商表 xi F(xi) F[xi,xi+1] F[xi.xi+1.xi+2 ] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3 ] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4 ] 0 1 1 -1 -2 1 -1 1 3 2 3 4 3 0 2 3 5 1 -2 -1 P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2) 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和