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数值模拟方法 科学研究与解决工程问题的基础在于物理实验与实物观测，例如对金属材料的凝固过程 进行物理实验、对天体运行进行观测。现代科学研究方法的核心是通过实验或观测建立研究 对象的数学模型，基于数学模型进行研究与分析。这种研究方法可以追溯到伽利略的工作，成熟于牛顿的三大定律与微积分。采用实物模型进行物理实验的研究周期 长、投入大，有时甚至无法在实物上进行，如天体物理的研究。在数学模型上进行的数值模拟研究具有研究周 期短、安全、投入少，已经成为不可或缺的工具。 数值模拟方法的应用对象分为三个层次 宏观层次：常见的工程建筑、制造设备、零件等; 界观层次：材料的微观组织与性能，如金属材料的晶粒度影响其屈服强度; 微观层次：基本物理现象与机理，如金属材料凝固时的结晶与晶粒生长过程。宏观与界观层次的数值模拟方法包括： 有限差分方法(Finite Difference Method, FDM)：微分方程的直接离散方法; 有限元单法(Finite Element Method, FEM)：用有限尺度的单元的集合来代替连续体， 分为 Lagrange 方法，Euler 方法，ALE 方法; 边界单元方法(Boundary Element Method, BEM)：一种半解析方法; 有限体积方法(Finite Volume Method, FVM)：把空间划分成有限尺度的体积单元，连 续体通过这些在空间上固定的体积单元，单元的空间位置不变; 无网格方法(Meshless Method)：只布置结点，不需要划分单元网格，有权函数。 微观层次的数值模拟方法包括： 第一原理法(First Principle Simulation)：量子力学方法，直接计算原子的电子结构; 元胞自动机方法(Cellular Automata)：把空间用元胞演化、元胞的局部相互作用来描述复杂的、全局的系统。 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method )：把颗粒运动定义为随机过程，用势能的变化来 判断颗粒运动能否被接受。 分子动力学方法(Molecular Dynamics)，分为经典方法、嵌入原子模型(Embedded Atom Model)、从头计算(ab initio)的方法。经典方法的原理是：把分子作为颗粒，用牛顿方程计算颗粒运动，只考虑颗粒之间存在的势能。嵌入原子模型的原理是：原子的势能包括取 决与 2 个原子间距离的势能，取决与电子密度的嵌入能。从头计算方法的原理是：根据原子的电子 结构计原子之间的作用力。