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概率论与数理统计习题解答 第⼀章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰⼦，记录两颗骰⼦的点数之和； （2）在单位圆内任意⼀点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取⼀件，取后不放回，直到三件次品都取出为⽌，记录抽取的次数； （4）测量⼀汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4 ，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y21} （3）S= {3，4 ，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v0} 2. 设A、B、C为三个事件，⽤A、B、C的运算关系表⽰下列事件： （1）A发⽣，B和C不发⽣； （2）A与B都发⽣，⽽C不发⽣； （3）A、B、C都发⽣； （4）A、B、C都不发⽣； （5）A、B、C不都发⽣； （6）A、B、C⾄少有⼀个发⽣； （7）A、B、C不多于⼀个发⽣； （8）A、B、C⾄少有两个发⽣. 解所求的事件表⽰如下 3．在某⼩学的学⽣中任选⼀名，若事件A表⽰被选学⽣是男⽣，事件B表⽰该⽣是三年级学⽣，事件C表⽰该学⽣是运动员， 则 （1）事件AB表⽰什么？ （2）在什么条件下ABC=C成⽴？ 是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成⽴？ 解所求的事件表⽰如下 （1）事件AB表⽰该⽣是三年级男⽣，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男⽣时，ABC=C成⽴. 是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学⽣时，关系式C B （4）当全校⼥⽣都在三年级，并且三年级学⽣都是⼥⽣时，A B =成⽴. 4 ．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中⾄少有⼀个发⽣的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只⽩球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜⾊相同}， B ＝{两球颜⾊不同}. 解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 7. 若10件产品中有件正品，3件次品, （1）不放回地每次从中任取⼀件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取⼀件，有放回地取三次，求取到 三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则 333333101016 ()()120720 或者==== C A P A P A C A . （2）设B={取到三个次品}, 则 33327 ()101000 ==P A . 8. 某旅⾏社100名导游中有43⼈会讲英语，35⼈会讲⽇语，32⼈会讲⽇语和英 语，9⼈会讲法语、英语和⽇语，且每⼈⾄少会讲英、⽇、法三种语⾔中的⼀种，求： （1）此⼈会讲英语和⽇语，但不会讲法语的概率； （2）此⼈只会讲法语的概率. 解设 A={此⼈会讲英语}, B={此⼈会讲⽇语}, C={此⼈会讲法语} 根据题意, 可得 (1) 32923()()()100100100 =-= -=P ABC P AB P ABC (2) ()()()P ABC P AB P ABC =- 9. 罐中有12颗围棋⼦，其中8颗⽩⼦4颗⿊⼦，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是⽩⼦的概率； （2）取到两颗⽩⼦，⼀颗⿊⼦的概率； （3）取到三颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦的概率； （4）取到三颗棋⼦颜⾊相同的概率. 解 (1) 设A={取到的都是⽩⼦} 则 3831214 ()0.25555 ===C P A C . (2) 设B={取到两颗⽩⼦, ⼀颗⿊⼦} 21 84 312 ()0.509==C C P B